Уровень Ландау для квадратичного касания полос в гамильтониане Дирака

Я нахожу ответ в статьях, изучающих двухслойный графем, например

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0034-4885/76/5/056503/meta;jsessionid=6653715AE8C3DDEC60ADA7854E2EA192.c1

и я решил написать ответ на свой вопрос. Сначала мы делаем минимальную связь с магнитным полем:

$$\begin{equation} H[A]=\frac{(k_x+e A_x/c)^2-(k_y+e A_y/c)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k_x+e A_x/c)(k_y+e A_y/c)+(k_y+e A_y/c)(k_x+e A_x/c)}{m}\sigma_y \end{equation}$$

Заметить, что$k_x k_y$должно быть симметризовано при замене каноническим импульсом, чтобы сохранить эрмитовость гамильтониана. В калибровке Ландау,

$$\begin{equation} A_x=-B y, A_y=0 \end{equation}$$

затем

$$\begin{equation} [\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(-i \partial_x-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(-i \partial_x-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\psi(\mathbf{r})=E_n \psi(\mathbf{r}) \end{equation}$$

Из-за трансляционной инвариантности в направлении x,

$$\begin{equation} \psi(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{L}}exp[i k x]\hat{f}_n(y) \end{equation}$$

одна находка

$$\begin{equation} [\frac{(k-\frac{e B}{c} y)^2-(-i \partial_y)^2}{m}\sigma_x+\frac{(k-\frac{e B}{c})(-i \partial_y)+(-i \partial_y)(k-\frac{e B}{c})}{m}\sigma_y]\hat{f}(y)=E_n \hat{f}(y) \end{equation}$$

Определение оператора создания и уничтожения как

$$\begin{equation} a^-=l_B \partial_y+(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), a^+=l_B \partial_y-(l_B k-\frac{e B}{c} y/l_B), \end{equation}$$

где$l_B=\sqrt{\frac{c}{e B}}$- магнитная длина. У нас есть

$$\begin{equation} \omega_c \begin{bmatrix} 0 & {a^+}^2 \\ {a^-}^2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix}=E_n \begin{bmatrix} f_n^+(y) \\ f_n^-(y) \end{bmatrix} \end{equation}$$ Спектр и собственные состояния можно решить аналогично задаче о гармоническом осцилляторе:

$$\begin{equation} E_n^{\pm}=\sqrt{n(n-1)}\omega_c,n=2,3,\ldots, \hat{f}_{n,\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} \phi_n(y) \\ \pm\phi_{n-2}(y) \end{bmatrix} \end{equation}$$

где$\phi_n(y)$являются собственными состояниями гармонических осцилляторов.