Распределение точечных зарядов на линии конечной длины

Это более приземленный ответ, в отличие от причудливой математики в другом. Эта задача легко решается численно. Уравнения формулируются легко: силы обратных квадратов вправо от частиц влево и влево от частиц вправо. Таким образом, для системы$n+2$заряды, где первый и последний фиксированы на уровне$x=0$а также$x=L$внешними силами (чтобы не разлетелась вся система), позиции$x_1,\ldots,x_n$средних частиц подчиняются

$$\frac1{x_i^2}+\sum_{j=1}^{i-1}\frac1{(x_i-x_j)^2}-\sum_{j=i+1}^n\frac1{(x_i-x_j)^2}-\frac1{(x_i-L)^2}=0,\ \ i=1,\ldots,n.$$

Это можно решить численно, чтобы определить позиции. Это график положения частиц для$n$от 1 до 50:

^{Код Mathematica доступен по запросу.}

Распределение относительно близко к равномерному, но это не так точно. Это видно по небольшому сгущению на концах и более четко видно по плотности вероятности для позиций на больших позициях.$n$:

Я должен отметить, что этот тип распределения более или менее соответствует тому, что вы ожидаете от нулей ортогонального многочлена большого порядка , хотя случай Якоби еще более сглажен по краям:

^{(Хотя на самом деле эти две гистограммы настолько различны, а кулоновская настолько однородна, я начинаю сомневаться, существует ли электростатическая модель Калоджеро для потенциала взаимодействия на обратном расстоянии.)}

Эта проблема была решена Гриффитсом в

Плотность заряда проводящей иглы. Дэвид Дж. Гриффитс и Йе Ли. Являюсь. Дж. Физ. 64 нет. 6 (1996), с. 706 . PDF с сайта colorado.edu .

Проблема нетривиальная.

Свободно движущиеся заряды, размещенные на линии, будут стремиться разлететься друг от друга — без возможного положения равновесия — если только не существует какого-то потенциала, который ограничивает их в определенной области. Принуждение обвинений лежать в пределах интервала$[0,L]$всегда будет означать, что один заряд находится на обоих концах, так что вы могли бы также подумать$n-2$заряды ограничены потенциалом одного точечного заряда на обоих концах. Таким образом, ваша задача сводится к нахождению устойчивых равновесий$n$частицы в положениях$x_1,\ldots,x_n$, взаимодействуя через кулоновский потенциал$V(x_i,x_j)$и под действием внешнего потенциала$\varphi(x)$:

$$\text{Minimize }\,\,\,\ E(x_1,\ldots,x_n)=\frac12\sum_{i\neq j}V(x_i,x_j)+\sum_i\varphi(x_i) \ \ \text{over}\ \ x_1,\ldots ,x_n.$$

Эта задача очень общая и порождает ряд очень красивых структур. В частности, положения равновесия глобального минимума$E$очень часто являются нулями$n$й член семейства ортогональных полиномов. Какое полиномиальное семейство появится, конечно, будет зависеть от функций$V$а также$\varphi$, и от того, накладываете ли вы дополнительные условия на$x_i$. Вот несколько хороших примеров:

• Если$V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$а также$\varphi(x)=-\frac{\beta+1}2\ln|x+1|-\frac{\alpha+1}2\ln|x-1|$, соответствующие взаимодействиям точечных зарядов в двух измерениях, ограниченных 1D, под действием точечных зарядов на$\pm1$, то$x_i$будут нулями полинома Якоби$P_n^{(\alpha,\beta)}$(хотя они, вероятно, сводятся к полиномам Чебышева второго рода , когда концевые заряды имеют ту же силу, что и средние).
• Если$V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$а также$\varphi(x)=\frac12 x^2$, то вы получите многочлены Эрмита.
• Если$V(x_i,x_j)=-\ln|x_i-x_j|$а также$\varphi(x)=x-\frac{\alpha+1}2\ln|x|$, то вы получите многочлены Лагерра.
• Если$V(x_i,x_j)=\frac1{(x_i-x_j)^2}$а также$\varphi(x)=\frac12 x^2$, то вы также получите многочлены Эрмита.

Самый близкий результат, о котором я знаю, к тому, о чем вы спрашиваете, - это первый, но взаимодействия являются логарифмическими, а не кулоновскими потенциалами. Однако должно быть ясно, что для кулоновского случая распределение не будет равномерным.

Мне неизвестны какие-либо конкретные результаты, в которых использовались бы обратные дистанционные потенциалы (но если кто-то знает, пожалуйста, добавьте их!). В целом, тем не менее, математики, похоже, интересуются обратными задачами: для заданной последовательности ортогональных полиномов (определяемой их мерой ортогональности или, что то же самое, ее моментами или коэффициентами рекурсии полиномов) найти электростатическую модель, которая полиномиальные нули удовлетворяют.

Первоначально эта работа была начата Стилтьесом, а в семидесятых годах она была заново открыта Ф. Калоджеро, что послужило толчком к современной работе по этому вопросу. Если вы хотите прочитать об этом, две хорошие исходные ссылки:

О нулях классических многочленов. Ф. Калоджеро. лат. Нуово Чименто 19 нет. 13, серия 2, стр. 505-508 (1977) .

Электростатические модели нулей многочленов: старые, новые и некоторые открытые проблемы. Ф. Марселлан, А. Мартинес-Финкельштейн и П. Мартинес-Гонсалес. Дж. Комп. заявл. Мат. 207 нет. 2, стр. 258-272 (2007) (Материалы конференции в честь доктора Нико Темме по случаю его 65-летия).

Электростатическая модель для нулей общих ортогональных многочленов. Мурад EH Исмаил. пакет Дж. Матем. 193 нет. 2, стр. 355-369 (2000) , электронная печать Тель-Авивского университета .

Помимо частных случаев$N = 1,2, 3$, в общем случае решение будет представлять собой довольно сложную систему одновременных уравнений. Я не знаю, есть ли способ вообще не заниматься алгеброй и просто полагаться на физические аргументы... но полное решение таково:

Позволять$q = 1, \epsilon_0 = 1, L =1$т.е. установить все константы$=1$для простоты. Пусть будет$N$частицы, и пусть частицы индексируются$i$который бежит от$0$к$N-1$, куда$i$упорядочивается так, что описывает частицы, идущие вдоль линии слева направо.

Очевидно,$0$ая частица будет в самом левом конце,$N-1$ая частица в самом правом конце.

Позволять$x_i$= расстояние от$i-1$частица к$i$частица. Здесь$i$работает от$1$к$N-1$.

Тогда ограничение длины равно

$$\begin{align} \sum_{i=1}^{N-1} x_i = 1, \end{align}$$ и $N-2$уравнения силы $$\begin{align} \frac{1}{x_1^2} &= \frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{(x_2+x_3)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_2+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ \frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{x_2^2}&=\frac{1}{x_3^2}+\frac{1}{(x_3+x_4)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_3+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ \frac{1}{(x_1+x_2+x_3)^2}+\frac{1}{(x_1+x_2)^2}+\frac{1}{x_3^2}&=\frac{1}{x_4^2}+\frac{1}{(x_4+x_5)^2}+\cdots+\frac{1}{(x_4+\cdots+x_{N-1})^2} \nonumber \\ &\vdots \end{align}$$ давать $N-1$независимых уравнений для $N-1$переменные. Решать.

Система будет симметрична относительно средней точки, поэтому вы можете сократить некоторые уравнения, но я не думаю, что вы можете просто «увидеть» решение навскидку.