Устранение несоответствия при выводе преобразования Лоренца из сокращения длины

Нет, в специальной теории относительности не имеет значения, какая система отсчета считается покоящейся. В этом случае Фейнман никогда прямо не говорит, что P покоится в системе отсчета Джо, но это следует из рассуждений. Он правильно делает вывод, что$x' = \dfrac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$это расстояние, которое Мо измеряет до P в момент времени$t$, используя линейку с уменьшенной длиной, если смотреть из системы отсчета Джо.

Если мы изменим историю и вместо этого скажем, что P покоится в системе отсчета Мо, то, очевидно,$x = x_0 + ut$, где$x_0$это расстояние Джо до P в момент времени$t=0$, и$x'$теперь больше не зависит от времени:$x' = \dfrac{x_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$или альтернативно$x = x'\sqrt{1-u^2/c^2}+ut$, которое становится обратным преобразованием Лоренца, если принять во внимание относительность одновременности и выразить$t$с точки зрения$t'$и$x'$. Результат:$x = \dfrac{x'+ut'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$.

Не имеет строгого значения, какой кадр считается кадром покоя. Но для сокращения длины вы хотите определить, какая система координат находится в покое относительно объекта, длину которого вы измеряете. Вот простой пример, который приводит к тому же результату (конечно), что и Фейнман и Код Куспи, и иллюстрирует возможную ошибку, которую вы могли допустить, пытаясь переработать пример Фейнмана.

Предположим, две системы отсчета в стандартной ориентации, и пусть одна система привязана к движущемуся вагону поезда ($S^{'}$), а другой на землю рядом с железнодорожными путями ($S$). Наблюдатель в$S^{'}$определяет продолжительность$\Delta t^{'}$как время, необходимое для того, чтобы фонарный столб, прикрепленный к земле, переместился от передней части автомобиля к задней части. Наблюдатель в$K$определяет продолжительность$\Delta t$как время, необходимое для того, чтобы автомобиль проехал мимо фонарного столба спереди назад.

Каждый наблюдатель вычисляет скорость: наблюдатель в$S^{'}$скорость$\Delta x^{'}/\Delta t{'}$фонарного столба относительно его рамы, а наблюдатель в$S$скорость$\Delta x/\Delta t$автомобиля относительно его рамы. Эти скорости обязательно будут равны:

$$\frac{\Delta x^{'}}{\Delta t^{'}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \implies \Delta x^{'} = \Delta x \frac{\Delta t^{'}}{\Delta t}.$$

$\Delta t^{'}$и$\Delta t$связаны формулой замедления времени, но нам нужно определить, какой кадр движется относительно вагона поезда, поскольку это объект, длина которого сокращается. Ошибка здесь поставит$\gamma$в неправильном месте.

Потому что$S$является «движущейся системой» (вагон поезда покоится в$S^{'}$), формула замедления времени должна быть записана как

$$\Delta t^{'} = \gamma \Delta t,$$

что говорит движущиеся часы в$S$кадры работают медленнее в разы$\gamma$как видно из$S^{'}$рамка. Подставьте это в выражение для$\Delta x^{'}$получить

$$\Delta x^{'} = \gamma \Delta x \implies \Delta x = \frac{\Delta x^{'}}{\gamma}.$$

Длина вагона уменьшилась в 3 раза.$\gamma$в$S$рамка. Наблюдатель в$S^{'}$также утверждает (правильно) наблюдать сокращение длины. Она утверждает, что метр застревает в$S$рама укорочена так, что между задней и передней частью автомобиля помещается больше этих метровых стержней, чем метровых стержней в ее раме. Но, конечно, если она выводит из этого, что наблюдатель в$S$заявляет слишком большую длину автомобиля, то она совершает ошибку. Я подозреваю, что вы совершаете практически ту же ошибку, когда пытаетесь переделать пример Фейнмана, но я не уверен. Может быть, вы можете уточнить?

Отсюда обратите внимание, что передняя часть поезда продолжает двигаться по рельсам со скоростью$v$в$S$кадр, так что$x-$координата в этом кадре задается

$$x = vt + \frac{x^{'}}{\gamma}.$$

Перестановка дает преобразование Лоренца для$x$к$x^{'}$:

$$x^{'} = \gamma(x - vt).$$