Получение преобразования Лоренца

Процедура проста, если принять два постулата:

1. $\psi$— скаляр при смене системы отсчета;

2. преобразования, которые вы рассматриваете, являются линейными (в общем случае неоднородными, поскольку вы всегда свободны в данной системе отсчета перемещать начало пространства и времени).

Второй постулат можно доказать, исходя из других принципов, но я не буду вдаваться в детали более глубокой формулировки.

Ваше уравнение можно переписать

$$\frac {\partial^2 \psi}{\partial \tau^2}- \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0\:,\tag{1}$$

где я ввел новую переменную$\tau = ct$. Если$\tau =x^0$и$x=x^1$, (1) можно переписать в явно более абстрактной форме

$$\eta^{ab}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^a \partial x^b}=0\:,\tag{2}$$ где я использую стандартное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам ( $a$и $b$) и $2\times 2$реальная матрица $\eta$коэффициентов $\eta^{ab}$диагональ $$\eta = diag(-1,1)\:.$$ Теперь меняем систему отсчета, переходя к координатам $y^0,y^1$подключен к $x^0,x^1$линейным неоднородным преобразованием согласно постулату 2.

$$y^a = \Lambda^a\:_b x^b + c^a\:.$$

Очевидно, это отображение должно быть обратимым, так как в силу их физической эквивалентности необходимо поменять местами роли системы отсчета. Легко доказать, что это эквивалентно требованию, чтобы матрица$\Lambda$обратим. Итак, у нас также есть обратное преобразование:

$$x^a = \Lambda'^a\:_b y^b + c'^a\:,$$

где$\Lambda' = \Lambda^{-1}$и$c'^d = -\Lambda'^d\:_e c^e$. Уравнение (2) с заменой координат и учетом постулата 1 дает

$$\eta^{ab} \frac{\partial y^c}{\partial x^a}\frac{\partial y^d}{\partial x^b}\frac{\partial^2 \psi(x(y))}{\partial y^c \partial y^d}=0\:,$$ где я также использовал постулат 1, чтобы отменить вторую производную, включающую только координаты, которые в противном случае появляются (на этом этапе можно потребовать, чтобы эта производная обращалась в нуль, чтобы сохранить форму волнового уравнения и, таким образом, доказать, что 2 формируют более основные предположения ) . Другими словами, если $\psi'(y) := \psi(x(y))$, $$\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b \frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0 \tag{3}\:.$$ Сравнивая (2) и (3), видим, что форма уравнения сохраняется при условии $$\left(\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b - \eta^{cd}\right)\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0 \:.\tag{4}$$ Видно, что форма волнового уравнения сохраняется, если $$\eta^{ab} \Lambda^c\:_a\Lambda^d\:_b = \eta^{cd}\:.\tag{5}$$ Обратное верно при некоторых мягких физических допущениях. Если для какого-либо события $y$пространства-времени и для любого выбора $\{c_0,d_0\}$где $c_0,d_0$принимать значения в $\{0,1\}$, мы можем создать волну такую, что $\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^c \partial y^d}=0$если $\{c,d\} \neq \{c_0,d_0\}$и $\frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^{c_0} \partial y^{d_0}} = \frac{\partial^2 \psi'(y)}{\partial y^{d_0} \partial y^{c_0}} \neq 0$, то из (4) следует (5).

Обратите внимание, что преобразования${\mathbb R^2} \ni x \mapsto y \in {\mathbb R}^2$

$$y^a = \Lambda^a\:_b x^b + c^a$$ где матрицы $\Lambda$удовлетворяют (5), определяют двумерную группу Пуанкаре и, таким образом, могут быть записаны в стандартной форме, известной почти всем.

Если$c^0=c^1=0$и$t'= y^0/c$,$x'= y^1$,

$$t' = \gamma\left(t- \frac{vx}{c^2}\right)\:, \qquad x' = \gamma(x-vt)$$

где$\gamma = (1- \frac{v^2}{c^2})^{-1/2}$и$v$это скорость точки, зафиксированной в системе отсчета в состоянии покоя с$x'$измеряется в нештрихованной системе отсчета.

Записываем волновое уравнение в координатах$t'= y^0/c$,$x'= y^1$, инвариантная форма уравнения

$$\frac{\partial^2 \psi'}{\partial t'^2}- c^2\frac{\partial^2 \psi'}{\partial x'^2}=0\tag{1'}$$

Устный перевод$t$и$x'$как временная и пространственная координата другой системы отсчета, стандартная теория уравнения Даламбера доказывает, что скорость распространения волн равна$c$в обеих системах отсчета.