Мое понимание аксиом состоит в том, что они являются самоочевидными истинами, не требующими доказательств, что, на мой взгляд, похоже на догматическую веру в том смысле, что догма представляет собой набор верований или доктрин, которые устанавливаются как бесспорно истинные.
Аксиома — это утверждение, принятое в рамках конкретной теории. Можно комбинировать аксиомы, чтобы доказать вещи в рамках этой теории. Можно добавить или удалить аксиомы к теории, чтобы получить другую теорию:
Евклид : ... 5. Если отрезок пересекает две прямые, образующие два внутренних угла с одной и той же стороны, сумма которых меньше двух прямых углов, то две прямые, если их продолжить бесконечно, пересекутся с той стороны, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.
Лобачевский : ...что говорит Евклид кроме (5)
Догмы — это аксиомы культурных, религиозных, политических теорий. Опять же, можно добавить или удалить догмы, чтобы получить новую теорию, например:
Арий : ... Сын не нерожденный ... до того, как Он был рожден, или сотворен, или задуман, или установлен, он не был.
Никейский собор : ... те, кто говорит: «Было время, когда его не было»; ... осуждены Святой Соборной и Апостольской Церковью.
Разница в том, что совершенно нормально иметь дело с разными наборами аксиом, скажем, в математике и доказывать теорему в евклидовой геометрии в один день, а теорему в Лобачевском на следующий — просто помнить, когда пятый постулат выполняется или не выполняется, но неприемлемо придерживаться нескольких наборов догм одновременно. «Жизнь Пи» иллюстрирует противоречивость такой позиции (главный герой одновременно индус, мусульманин и католик, и его единоверцы не любят делить его с конкурентами).
Я уверен, что ранние геометры были гораздо более религиозны в отношении своих аксиом-догм, чем современные математики, но у меня нет доказательств.
Аксиома есть нечто самоочевидно истинное; это настолько очевидно, что споров по этому поводу нет. В математике вам просто нужно принять некоторые очень простые понятия, чтобы избежать круговых рассуждений. Их нельзя доказать, но их всегда (и часто очень легко) можно наблюдать.
Пример из «Элементов» Евклида:
Общие понятия:
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу (переходное свойство равенства).
Если равные прибавляются к равным, то целые равны.
Если из равных вычесть равные, то остатки равны.
Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу (рефлексивное свойство).
Целое больше, чем часть.
Или пример из пропозициональной логики:
Если:
- А верно
- Б верно
затем
- А и Б верно
Под догматом понимается (обычно религиозное) учение, которое считается несомненно и абсолютно верным. Это то, что вы принимаете без прямого наблюдения; догмы принимаются только верой.
Я должен добавить, что некоторые люди сказали бы, что нет никакой разницы между аксиомами и догмами, потому что «самоочевидные истины» в некотором смысле основаны на вере; то есть вы принимаете на веру, что все, что кажется очевидным и само собой разумеющимся, является истинным. Интересным чтением на эту тему является « О достоверности » Витгенштейна . Я также хочу подчеркнуть, что я не хочу сказать, что аксиома «лучше», чем религиозная догма (или наоборот, если уж на то пошло).
В религиях некоторые (должно быть большинство) люди принимают существование Бога верой. в то время как некоторые из них принимают Бога через наблюдение (через медитацию и т. д.). Веруя, вера может быть поколеблена. Судя по непосредственному опыту (идеальный баланс осознанности и концентрации), это просто есть, в этом нет никаких сомнений.
Начав с набора аксиом, вы можете прийти к противоречию. Это указывает на то, что одна из аксиом неверна. Затем вы выясняете, какой именно, и отвергаете его. (Это упрощение, но достаточное для ответа на этот вопрос.)
Когда вам не разрешено отвергать аксиому, даже если вы успешно доказали ее ложность, аксиома, которую вам не разрешено отвергать, становится догмой.
Лунная звезда