Стандартную модель физики элементарных частиц можно построить, указав ее калибровочную группу и представления полей (плюс некоторая дополнительная информация: лоренц-инвариантность, значения констант связи и т. д.). Используя эту модель, мы можем предсказать многие экспериментальные факты, такие как сечения, измеренные на коллайдере, или конфайнмент/асимптотическая свобода КХД.
Однако мы могли бы начать с того, что дали алгебре Ли из , представления полей под , и так далее. Чтобы сделать многие из этих предсказаний, достаточно работать на бесконечно малом уровне.
С другой стороны, настоящая группа имеет важное значение в калибровочной теории, как мы можем видеть, например, при работе с инстантонами. Так что на самом деле важно, чтобы некоторые приложения могли различать разные калибровочные группы, даже если они имеют одну и ту же алгебру Ли.
Имеются ли какие-либо экспериментальные доказательства или теоретические основания для вместо какой-то другой группы с алгеброй ?
Этот вопрос Phys.SE явно связан, но он касается только конкретной модификации учитывать отношение между представлениями полей материи, а не исследовать другие возможности глобальной структуры группы.
Когда требуется, чтобы компактная симметрия выполнялась только локально, т. е. чтобы она была симметрией алгебры Ли, но не была соответствующей групповой симметрией Ли, это означает, что разрешено использовать неинтегрируемое представление, т. е. представление алгебры Ли которые не интегрируются в представление соответствующей группы Ли.
Примером такого представления является представление с нецелое число алгебры Ли . Это законное бесконечномерное представление который не интегрируется в представление группы , так как всякое унитарное неприводимое представление компактной группы Ли конечномерно. Отсутствие интегрируемости выражается в том, что в этом представлении конечные повороты, соответствующие элементам алгебры Ли, становятся многозначными.
Если вы не допускаете таких представлений, то вы автоматически предполагаете наличие групповой симметрии Ли. Например, если вы приписываете кварки и калибровочные поля в стандартной модели конечномерным представлениям алгебры Ли компактной группы; тогда теория обязательно инвариантна относительно соответствующей группы Ли.
Известно, что неинтегрируемые представления вызывают ряд трудностей. К таким представлениям относится, например, алгебра угловых моментов частицы, движущейся на фоне магнитного монополя. Это представление становится интегрируемым только при выполнении условия квантования Дирака. В противном случае возникает несколько проблем: струна Дирака, которая должна быть просто координатной особенностью, становится реальной особенностью, некоторые операторы становятся неассоциативными, а интеграл по путям становится плохо определенным. См. следующую статью Бакаса и Люста и ссылки в ней.
Подобные вещи могут происходить и в теории поля, когда уровень Черна-Саймонса становится нецелочисленным.
Тем не менее, сейчас к этим делам проявляется большой интерес. См. следующие две статьи Виттена, в которых объясняется метод, основанный на аналитическом продолжении, предназначенный для квантования теорий без требования условия Дирака или целостности уровня.
Важным свидетельством является сравнение предсказаний, сделанных на основе расчетов диаграмм Фейнмана, и экспериментальных результатов. Факторы теории групп, которые появляются при расчетах диаграммы Фейнмана, зависят от представлений алгебр Ли. Благоприятное сравнение, таким образом, закрепляет эти представления.
Примерами таких диаграмм являются те, которые нужно было бы вычислить, чтобы определить бета-функцию для бегущей связи калибровочной теории. Однопетлевая бета-функция для SU( ) калибровочная теория (которую я скопировал отсюда ) задается формулой
Для КХД . Можно использовать бета-функцию для вычисления изменения константы связи в зависимости от масштаба энергии. Это подтверждено экспериментально. См., например, рисунок 9.3 в: http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-qcd.pdf .
Итак, теперь, когда у нас есть представления алгебры Ли, как они фиксируют структуру группы? Здесь мы рассмотрим конкретный случай стандартной модели. Соответствующими частями являются группы SU(2) и SU(3). Содержание фермионов, дающее согласие с экспериментальным результатом, фиксирует представления их алгебр Ли.
Для SU(2) может быть одна и та же алгебра Ли с SO(3), но последняя не имеет двумерного представления. Поэтому мы знаем, что единственная компактная группа Ли с двумерным представлением матриц Паули в виде алгебры Ли — это SU(2).
Для SU(3) представления также фиксируются содержанием теории, что дает согласие между расчетами и наблюдениями. Фермионы представлены в трехмерном фундаментальном представлении. Это фиксирует структуру компактной группы Ли как SU (3).
любопытный разум