Первая и вторая теоремы Нётер.

У меня есть этот вопрос, связанный с теоремами Нётер. Я хочу знать достаточно строгое изложение этой теоремы, контекст - классическая теория поля без причудливых геометрических структур, но обычные вещи, которые вам нужно знать, чтобы делать QFT и использовать группы Ли (не слишком абстрактно, мне нужна разумная связь с физикой элементарных частиц).

Из-за того, что я читал в стандартных текстах по классической механике, Пескине, Брейдинге и Брауне , а также в диссертации одного из этих авторов , мне не совсем понятно, что такое преобразование симметрии и теоремы Нётер, если рассматривать их с точки зрения теории групп и ограничений знаний. упомянутое выше.

Для того, что я читал в других сообщениях на сайте, группа, которая действует на лагранжиан и дает сохранение токов (закон сохранения) и теоремы Нётер, является группой преобразований в пространстве полей$\mathfrak{F(\mathcal{M})}$то есть$\mathcal{G} = \{ \Lambda: \mathcal{M} \rightarrow G \}$где$\mathcal{M}$является многообразием (сейчас скажем просто пространство Минковского или евклидово),$\Lambda(x)$это преобразование и$G$является группой, обычно компактной как$SU(N)$или Пуанкаре/Галилей. Но проблема в том, что существует большая дистанция в понимании между этим фактом и тем, что я читал о теоремах Нётер в упомянутой выше литературе.

Следуя тому, что они делают в статье, давайте определим полную вариацию действия как$\hat{\delta}S\equiv S(\phi'(x'), \partial_{\mu},\phi(x'),x') -S(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x),x)$. Они также определяют общее преобразование действия как$\Delta S \equiv \tilde{S}(\phi'(x'), \partial_{\mu},\phi(x'),x') -S(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x),x)$. Преобразования, дающие обе вариации, «бесконечно малы» (какие они более строгие?). Вопрос а) Являются ли эти элементы$\mathcal{G}$? Я думаю, что да.

В диссертации они определяют симметрию как преобразования (я предполагаю, что элементы$\mathcal{G}$), которые дают$\hat{\delta} S = 0$. Здесь, мне кажется, опять говорят о действии каких-то бесконечно малых преобразований$\mathcal{G}$. Затем они переходят к выводу так называемых соотношений Нётер без наложения условий Лагранжа-Эйлера. Это:

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^{N} \left( \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_i)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi_i} \right)\delta \phi_i= \sum_{i=1}^N \partial_{\mu}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_i)}\delta \phi_i + \mathcal{L}\delta x^{\mu} \right) \end{equation}$$ Затем они делают следующее. Чтобы сформулировать первую теорему Нётер, они ограничиваются «конечномерной непрерывной группой преобразований, гладко зависящей от $\rho$независимые параметры $\omega_{i}, (i= 1, \cdots, \rho)$ "которые дают $\hat{\delta}S = 0$. Затем они продолжают расширяться $\delta \phi$вокруг параметров и накладываем уравнения Лагранжа-Эйлера и получаем теорему сохранения. Я понимаю, что они ограничиваются «бесконечно малым групповым действием» некоторой группы преобразований, зависящей от конечных параметров. В б) Это не группа Ли, верно? Какова связь с обычным физическим определением глобальных симметрий как «бесконечно малое действие конечномерной группы Ли, которое оставляет $S$инварант"

Вопрос в) Говорят ли они о подгруппе$\mathcal{G}$то есть конечно? как это, если$\mathcal{G}$бесконечномерен? Они говорят о$G$? или это подгруппа$\mathcal{G}$как-то изоморфна G? Кажется, они действуют одинаково.

В статье они просто ссылаются на преобразования, которые не действуют на координаты («они определили их как калибровочные преобразования»), но в диссертации тот же подход используется с преобразованием, которое меняет координаты.

Для второй теоремы Нётер рассматривают бесконечномерную группу преобразований с конечными параметрами, зависящими от х (т.е. функции). Я действительно не понимаю этого. Каким образом наличие параметров, явно зависящих от пространства-времени, меняет размерность группы преобразований. То, как эта вторая теорема соотносится с обычными локальными симметриями, определенными в учебниках по физике, еще более туманно, по крайней мере, для меня.

Заранее спасибо.