В чем разница между ньютоновской и лагранжевой механикой в ​​двух словах?

В ньютоновской механике вы должны использовать в основном прямоугольную систему координат и учитывать все ограничивающие силы. Схема Лагранжа ловко избегает рассмотрения сил связи, и вы можете использовать любой набор «обобщенных координат», таких как угол, радиальное расстояние и т. Д., В соответствии с отношениями связи. Число этих обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы системы.

Во всех динамических системах мы произвольно выбираем некоторые обобщенные координаты, согласующиеся с ограничениями системы. В ньютоновской механике разница между кинетической и потенциальной энергией системы дает вам так называемый лагранжиан. Тогда у нас есть n дифференциальных уравнений.$n$– число степеней свободы системы.

Основное преимущество лагранжевой механики состоит в том, что нам не нужно учитывать силы связей и, зная полные кинетическую и потенциальную энергии системы, мы можем выбрать некоторые обобщенные координаты и вслепую вычислить уравнение движения совершенно аналитически, в отличие от ньютоновского случая, когда одно необходимо учитывать ограничения и геометрическую природу системы.

Чтобы ответить на вторую часть вашего вопроса, я приведу классический пример гармонического движения. Потенциальная энергия пружины равна$U=\frac{1}{2}kx^2$, куда$k$пружинная постоянная и$x$это смещение.

Ньютоновская механика:

$F=m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{-dU}{dx}=-kx$

Так$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$, представляющее собой простое дифференциальное уравнение.

Лагранжева механика:

Сначала мы знаем уравнения Эйлера-Лагранжа.$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, определяем координаты$q=x$, и мы определяем наш лагранжиан$L=T-V$($T$кинетическая энергия и$V$потенциальная энергия).

$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$

$V=\frac{1}{2}kx^2$

Итак, мы подставляем все это в наше маленькое уравнение Эйлера-Лагранжа, и, решая его, вы получаете (барабанная дробь),$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$!

Вывод

Итак, после всего этого мы получаем то же уравнение, что и в ньютоновской механике, но с гораздо большей работой, верно? В этом примере возможно и большинство других простых систем. Однако у лагранжевой механики есть несколько очень мощных приложений.

Рассмотрим следующую систему: у вас есть несколько маятников, соединенных пружинами, и каждый маятник начинается с некоторого начального положения и скорости. Как вы собираетесь решать эту систему? В ньютоновской механике будет чрезвычайно сложно вычислить все задействованные силы. Однако, с точки зрения Лагранжа, большая часть тяжелой работы выполняется, как вы можете легко определить.$q_i=\theta_i$,$\theta$угловое смещение каждого маятника. И вместо того, чтобы иметь дело с различными силами, вы имеете дело только с потенциальной и кинетической энергией.

Еще более, экспоненциально более важное приложение находится в классической теории поля (я знаю, что она имеет некоторые важные связи с КТП, но я не в состоянии комментировать это со знанием дела). Два превосходных примера — электромагнетизм и общая теория относительности. Вы можете полностью вывести уравнения Максвелла из электромагнитного лагранжиана ($L=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_{\mu}J^\mu$), и вы можете получить чрезвычайно важные результаты в общей теории относительности из действия Гильберта ($S_H=\int \sqrt{-g}Rd^nx$) и подобные вариационные принципы.

• Лагранжева механика может быть получена из принципа наименьшего действия или из ньютоновской механики. Это не принципиальная разница.
• Довольно много. В ньютоновской механике вы начинаете с рисования набора векторов, а затем составляете список своих уравнений. В лагранжевой механике вы сначала определяете все ограничения, выбираете обобщенные координаты, затем записываете лагранжиан и подставляете его в уравнение Лагранжа.$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{dL}{dq_i}=0$
• • Лагранжева механика лучше, когда есть много ограничений. Чем больше ограничений, тем проще уравнения Лагранжа, но тем сложнее становятся уравнения Ньютона. Лагранжева механика не очень подходит для неидеальных или неголономных систем, таких как системы с трением.
    
  • Лагранжева механика также гораздо более расширяема. Почти такой же вид он может сохранять в гидродинамике, электродинамике, электрических цепях, специальной и общей теории относительности и т. д.
  • Принцип наименьшего времени тесно связан с принципом наименьшего действия, но на самом деле они очень разные. Я не понимаю, как можно вывести первое из второго.

Лагранжева формулировка предполагает, что в системе силы ограничений не совершают никакой работы, а только уменьшают количество степеней свободы системы. Так что не нужно знать форму силы, которую имеют силы связи в отличие от ньютоновской механики!!!

Основное преимущество лагранжевой и гамильтоновой механики перед ньютоновской механикой заключается в том, что мы можем иметь дело со скалярными величинами, энергией, тогда как в последней нам приходится иметь дело с векторными величинами. Кроме того, мы можем легко подойти к любой системе (например, механической, электрической, оптической и т. д.) с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Но этот легкий доступ не может быть достигнут с помощью НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКИ.

Это все о системе отсчета. В ньютоновской физике вы стоите в точке и наблюдаете, как что-то движется относительно стационарной точки наблюдения под действием приложенных сил. В лагранжевой физике вы — это нечто движущееся, на которое действуют силы. Транспортная теорема Рейнольдса связывает две системы отсчета.

Согласно Ньютону:

$r(t+dt)=r(t)+v(t)dt$

а также

$\dot{r}(t+dt)=\dot{r}(t)+\frac{F(t)}{m}dt$.

Как видите, свободы выбора траектории нет - она ​​определяется мгновенными значениями силы и скорости. «Будущее» определяется «настоящим».

Частица никогда не «выбирает» оптимальную траекторию движения из известного положения в прошлом.$r(t_1)$на известную должность в будущем$r(t_2)$. Будущие данные в динамике не участвуют. Но «принцип наименьшего действия», помимо хороших уравнений, основан на будущих данных.$r(t_2)$что математически возможно, но физически бессмысленно.

Не существует «принципа наименьшего действия», исходя только из исходных данных. Вместо этого для решения физических задач достаточно уравнений Ньютона с начальными данными ;-)