Подразумевает ли ньютоновское F=maF=maF=ma принцип наименьшего действия в механике?

Второй закон Ньютона подразумевает принцип наименьшего действия при двух допущениях:

1. Принцип виртуальной работы сохраняется.
2. Отсутствуют диссипативные силы.

Применительно к системе частиц второй закон Ньютона можно записать как

$$\sum_i(\vec F_i-\dot{\vec p}_i)=0.$$ Разложение этой силы на ограничивающую силу $\vec F_i^c$и приложенная сила $\vec F_i^a$мы получаем $$\sum_i(\vec F_i^a+\vec F_i^c-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_i=0,$$ где $\delta \vec r_i$виртуальное смещение частицы $i$. Принцип виртуальной работы гласит, что полная работа сил связи равна нулю вдоль виртуальных перемещений, $$\sum_i\vec F_i^c\cdot\delta\vec r_i=0.\tag1$$ Последние два уравнения можно объединить в принцип Даламбера , $$\sum_i(\vec F_i^a-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_i=0,\tag2$$ что дает уравнения движения системы. Последний шаг заключается в интегрировании уравнения. (2) от времени $t_1$к $t_2$, $$\int_{t_1}^{t_2}\sum_i(\vec F_i^a-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec r_idt=0$$ и предположим, что приложенные силы получены из потенциала (без диссипативных сил). Первый член увеличивает потенциальную энергию, тогда как второй приводит к кинетической энергии. Более того, вариация $\delta$коммутирует с интегралом, и приведенное выше уравнение можно записать в виде $$\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-V)dt=0,$$ что является принципом наименьшего действия.

Вам также потребуется выражение для лагранжиана, которое в классической механике имеет вид

$$L = T - U$$

Где$T$кинетическая энергия и$U$является потенциальной энергией.

При условии, что вы можете связать потенциальное$U$к силе$\vec{F}$такой, что$\vec{F} = - \vec{\nabla} U$(такая сила называется консервативной), принцип наименьшего действия и закон секунды Ньютона эквивалентны.

Демонстрация для одной частицы в 1D ($T = m v_x^2 /2$,$F = -dU(x)/dx$) на самом деле хорошее упражнение.