Как в принципе наименьшего действия частица узнает, где она будет в будущем?

Частице не нужно ничего «знать». Принцип наименьшего действия используется, когда мы уже знаем конечные точки пути и хотим узнать, как частица попала из начального положения в конечное. Нам нужно указать конечную позицию заранее.

Из-за этого кажется, что наименьшее действие не может предсказать будущее. Однако на практике это не проблема, потому что, имея принцип действия с локальным действием, вы можете вывести локальное дифференциальное уравнение, называемое уравнением Эйлера-Лагранжа, которое выполняется в каждой точке для любого допустимого пути. В большинстве практических расчетов мы работаем непосредственно с уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Таким образом, вы можете думать об этих принципах действия локально или глобально, и результаты будут точно такими же, даже если философская витрина отличается. Я думаю, что Фейнману очень понравилась картина «умной» частицы, «вынюхивающей», какой путь выбрать, поэтому он склонен объяснять ее глобально.

Представьте, что у вас есть начальная позиция.

Тогда есть много разных возможных начальных скоростей, и эти разные скорости могут привести к тому, что вы окажетесь в разных местах. Таким образом, другая начальная скорость может дать вам другое конечное положение.

Таким образом, вместо описания различных начальных скоростей вы могли бы описать различные конечные положения.

Вот что делает принцип экстремального действия. Вместо того, чтобы фиксировать начальную скорость, он фиксирует конечное положение. В конце концов вы получаете уравнение движения, и вам даже не нужно говорить, каково конечное положение. И так до тех пор, пока существовало конечное положение (т.е. частица не переставала существовать до$t=t_f$) тогда все работает нормально.

И не каждый потенциал плюс начальное положение плюс начальная скорость дают единственное решение в соответствии с законами Ньютона. Вы могли бы попытаться предложить это как нулевой закон Ньютона, но, во-первых, это исторически неверно, и даже в этом случае что вы ограничиваете, определенные начальные положения, определенные начальные скорости, определенные потенциалы?

Но ни принцип экстремального действия, ни законы движения Ньютона не требуют, чтобы существовало единственное решение, они просто предсказывают, что фактическое решение удовлетворяет уравнению.

Не принимайте метафорический язык Фейнмана за чистую монету. В квантовой теории нет ни классических «частиц», ни классической «причинности», которая предположительно описывает то, что происходит «на самом деле», и то и другое является артефактами классического описания. А в классическом описании единственный физически значимый факт состоит в том, что классические траектории должны подчиняться классическим законам, эквивалентно выраженным в ньютоновской форме или в форме наименьшего действия. Остальные, такие как «детерминистский» или «частица знает», являются просто литературными приемами, используемыми для объяснения того, что утверждают эти законы. Мы можем вывести возможные будущие состояния частицы из текущего из законов Ньютона, но мы также можем решить уравнения Ньютона в обращенном времени и вместо этого вывести ее возможные прошлые состояния. Это не «переосмысление» Ньютона.Споры о возможных телеологических аспектах.

А «принцип наименьшего действия» — неправильное название, траектория должна быть экстремалью наименьшего действия, а не обязательно минимизировать ее (разница такая же, как между критическими точками и максимумами/минимумами для функций). И первое, в отличие от второго, является локальным условием, т.е. частице не нужно «знать» свое место назначения, чтобы довести действие до предела, поэтому траектории могут быть вычислены локально по законам Ньютона.

Представьте, что дождевая вода падает на извилистую гору. Каждая капля дождя следует детерминистской ньютоновской механике и следует по «самому легкому» пути вниз по склону, а последовательные капли формируют «траектории» и стекают в ручьи.

В основном это принцип наименьшего действия. Каждая капля подчиняется локальным силам, но в течение длительного промежутка времени - временной интеграл Действия минимален, если сравнивать с соседними альтернативными путями.

Я вполне уверен, что точка зрения Фейнмана не имеет ничего общего со сравнением законов Ньютона с уравнением Лагранжа или с гамильтоновыми уравнениями движения в контексте классической механики, а имеет отношение ко всему, что касается способности лагранжевой и гамильтоновой механики распространяться на поле. теории, подобные теориям Максвелла и квантовой механики, без привлечения новых принципов.

То есть лагранжева механика может описывать в одном и том же формализме и на концептуальной основе и ньютоновскую механику, и уравнения Максвелла. Лагранжианы полей используют точно такой же формализм, что и дискретные системы (хотя они имеют бесконечномерные фазовые пространства).

Если бы цитата была просто о классической механике, то любое заявление о приоритете любой из версий было бы затруднено, потому что вы можете прийти к уравнению Лагранжа, исходя только из законов Ньютона (то есть без принципа Гамильтона, как это сделал Лагранж; см. Гольдштейна, например) или в законах Ньютона, исходя из уравнения Лагранжа. Таким образом, смысл цитаты следует понимать в более широком контексте.

Наконец, применение уравнения Лагранжа совершенно не требует никакого предвидения. Уравнение полностью локальное, как законы Ньютона. Обрамление с точки зрения путей, сводящих к минимуму действие, просто подразумевает, что правило продолжает применяться с течением времени.

Для консервативного потенциала в принципе наименьшего действия нет причинности. Фейнман немного объяснил это в своей лекции «Характер физического закона 2 — Отношение математики к физике» .

[О трех эквивалентных способах описания закона тяготения: поле, действие на расстоянии и принцип наименьшего действия] ... Теперь, если вы вычислите эту величину [лагранжиан] для этого пути и для другого пути, вы получите Конечно, разные числа для ответа. Но есть один маршрут, который дает наименьшее возможное число для этого, и это маршрут, по которому движется частица. Теперь мы описываем фактическое движение, эллипс, говоря что-то обо всей кривой. Мы потеряли представление о причинности , о том, что частица здесь. Он видит притяжение. Он перемещается в [t] здесь.

[СМЕХ]

Вместо этого он каким-то грандиозным образом пахнет всеми изгибами вокруг, всеми возможностями,

[СМЕХ]

и решает какой брать. Итак, это пример широкого спектра прекрасных способов описания природы, и когда люди говорят, что природа должна иметь причинно-следственную связь, вы можете говорить об этом так [НАИМЕНЬШЕ ДЕЙСТВИЯ]. Природа должна быть сформулирована в терминах принципа минимума. Ну, вы можете говорить об этом так [ПОЛЕ]. У природы должно быть локальное поле. Ну, вы можете сделать это [ДЕЙСТВИЕ НА РАССТОЯНИИ] и так далее.

И вопрос, кто из них прав? Так вот, если эти различные альтернативы математически не совсем эквивалентны и если для некоторых из них последствия будут иными, чем для других, тогда это очень... тогда это совершенно нормально, потому что нам нужно только провести эксперименты, чтобы выяснить, каким путем на самом деле является природа. решает это сделать. В основном люди приходят и рассуждают философски. Этот им нравится больше, чем тот, но мы знаем из большого опыта, что все интуитивные предположения о том, что природа собирается делать с философской точки зрения, терпят неудачу. Это никогда не работает . [......]

Однако имейте в виду, что теорема единственности не всегда гарантируется. Сумасшедшие вещи могут происходить, когда теорема единственности не выполняется.

Для некоторого неконсервативного потенциала принцип наименьшего действия может дать бесконечные возможные пути . В классическом случае частица пойдет по одному пути из множества путей, который может быть определен только как начальным положением, так и начальным импульсом. (Все пути подчиняются ньютоновскому уравнению движения.) В этом случае существует причинность в принципе наименьшего действия (поскольку вам действительно нужны начальные условия, чтобы указать, какой путь будет выбран, а разные начальные условия дают разные пути).$^\dagger$

$\dagger$: Учитывая «достаточно сумасшедшее» потенциальное поле, даже ньютоновская механика оказывается недетерминированной или не причинной .