Почему мы приравниваем неопределенный интеграл к конкретной величине?

Предположим, мы хотим получить вектор смещения, определенный как$\mathbf s(t) = x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j + z(t)\mathbf k$из компонент вектора скорости$\mathbf v(t) = \dot x(t)\mathbf i + \dot y(t)\mathbf j + \dot z(t)\mathbf k=\mathbf 0$. Согласно моим заметкам, это можно сделать, приравняв каждую скалярную компоненту вектора смещения неопределенному интегралу от соответствующих скаляров вектора скорости, т.е.

$$\mathbf s(t)=\begin{pmatrix} x(t)=\int \dot x\ dt \\ y(t)=\int \dot y\ dt \\ z(t)=\int \dot z\ dt \end{pmatrix}$$ Но $\int f(x)\ dx=\{F(x): \frac {dF}{dx}=f(x)\}$, это должно быть синтаксически неправильно, потому что мы подразумеваем, что число равно бесконечному набору чисел, или я что-то упустил?

Более того, это также приводит к странному уравнению при решении интеграла; например, с учетом$x$-компонент$\mathbf s$, у нас было бы так

$$x(t)=\int \dot x\ dt=c_1$$

Что правильно, но это также означало бы, что$x$-компонента скорости могла быть равна любой величине, принадлежащей$\mathbb R$. Из-за этого мы заменяем$c_1$с начальным условием и приравняем его к нулю, придав ему конкретное значение:$c_1=0$. Но для меня это звучит как нарушение определения неопределенных интегралов, поскольку$\int \dot x\ dt=c_1=0$в основном означало бы, что неопределенный интеграл - это одна конкретная функция.

Я знаю, что это может быть очень глупый вопрос, и, возможно, это связано с теми же ярлыками, которые заставляют нас не указывать "$\forall c \in \mathbb R$" при добавлении константы$c$в решениях неопределенного интеграла, но это сомнение меня очень одолевает и я до сих пор не понимаю, то ли я упускаю какой-то момент, то ли это действительно надо писать$x(t)=c_1=0 \in \int \dot x\ dt$. Заранее большое спасибо!