В каком смысле комплексное число может быть скаляром?

Скаляр — это однокомпонентная величина, инвариантная относительно поворотов системы координат.

Хорошо, но что тогда вы подразумеваете под «ротацией»?

Видите ли, скаляр в том смысле, в каком он определен в вашей цитате, это не просто «скаляр», и точка. Вы можете иметь скаляр только по отношению к какой-то конкретной операции вращения. Одна и та же величина может быть скаляром по отношению к одному виду вращения и вектором или тензором по отношению к другому.

Это правда, что есть ротационная группа (а$U(1)$группа), которая действует на комплексной плоскости и превращает одно комплексное число в другое. Но это не тот тип вращения, который используют физики. Мы используем повороты, которые превращают физические направления друг в друга (традиционный$SO(3)$вращение), или которые превращают направления мировых линий друг в друга (группа Лоренца), или которые превращают спиновые состояния друг в друга (любые$SU(2)$спиновая группа), или цветовые состояния (т.$SU(3)$группа, используемая в КХД), или так далее. Ни одно из этих вращений не влияет на простое старое комплексное число, потому что простое старое комплексное число не имеет физического значения, которое могло бы вызвать его изменение при любой операции физического вращения.

Это имеет значение для того, что считается «компонентом». Как упомянул пользователь 2357112 в комментариях, это зависит от контекста: например, вы можете рассматривать комплексное число как двухкомпонентный вектор или у вас может быть вектор с комплексными коэффициентами (как в квантовой механике), и в этом случае каждое комплексное число является только одним компонентом. На самом деле бывают даже ситуации, когда компонентом может быть вся матрица, например, вектор Паули .

Дело в том, что вы не должны предполагать, что компонент должен быть действительным числом или даже каким-либо числом. Вероятно, более разумно определять компонент с точки зрения вращения (поскольку в математике вся идея компонентов исходит из векторных пространств, так что мы могли бы сделать то же самое и в физике). Я не собираюсь предлагать здесь какое-либо строгое определение, но разумным было бы зафиксировать идею о том, что компоненты вектора «торгуют» друг с другом при вращении, и если какой-то математический объект не подвергается влиянию определенного вращения, то весь объект (будь то число, вектор, тензор и т. д.) заслуживает того, чтобы считаться одним компонентом (и, следовательно, скаляром) по отношению к этому вращению.

Хотя это довольно тривиально, комплексное число как член поля может быть скаляром, который действует путем коммутативного умножения на векторном пространстве , последнее, посредством масштабирования, является фундаментальным проявлением понятия линейности . См. определение векторного пространства для более подробной информации.

Комплексные числа обычно визуализируются как «двухкомпонентная векторная величина». Однако это всего лишь инструмент визуализации, а реальная+мнимая оси плоскости Аргана не соответствуют никаким физическим направлениям. Комплексные числа не меняются при$SO(3)$вращения пространства или повышения Лоренца, поэтому они являются скалярами.

Если вы считаете, что комплексные числа фундаментально связаны с точками на двумерной поверхности, вас может заинтересовать их история. Многие важные теоремы о комплексных числах были разработаны в 18 веке, в том числе формула де Муавра и формула Эйлера. Все они были основаны на алгебраическом определении$i^2 = -1$, без какой-либо геометрической идентификации/визуализации комплексных чисел как точек на комплексной плоскости. И только в 19 веке зародилась концепция сложной плоскости.

Чтобы немного расширить ответ WetSavannaAnimal, математик определяет векторное пространство (в общих чертах) как набор вещей, которые ведут себя как маленькие стрелки при сложении или умножении на скаляр (также известное как число). Они не должны быть маленькими стрелками. EG Набор всех функций$y = ax^2 + bx + c$представляет собой трехмерное векторное пространство.

N-мерный вектор всегда может быть представлен n числами, что эквивалентно точке в n-мерном физическом пространстве или маленькой стрелке от начала координат к этой точке. В этом смысле вектор может быть описан величиной и направлением.

Для наиболее знакомых векторных пространств числа действительны. Но они могут быть и сложными. Например, указанные выше функции могут быть определены на комплексной плоскости. Это все равно будет трехмерное векторное пространство. Несмотря на то$a$,$b$, а также$c$будут комплексными числами, их 3.

Это немного расширяет представление о стрелке в физическом пространстве. Но то же самое можно сказать и о 4D или 17D векторе. Дело в том, что скаляр — это число, на которое можно умножить вектор, не меняя его направления.

Для физика вектор должен иметь еще одно свойство. Он должен иметь физически осмысленную величину, которая не меняется при повороте системы координат. Для физика сила — это вектор, а точка в термодинамическом фазовом пространстве — нет. Для физика четырехмерное пространство-время — это векторное пространство, где величина — это интервал, а повороты координат — увеличение.

Физики немного небрежны в этом вопросе. Для математика понятие величины схватывается определением нормы. Для математика четырехмерное пространство-время не является нормированным векторным пространством, потому что норма никогда не должна быть отрицательной.

Возвращаясь к сути дела, второе значение скаляра — это физически значимое значение, инвариантное относительно вращения координат. Величина вектора является скаляром. Точно так же величины тензоров более высокого ранга являются скалярами.

В этом смысле скаляры обычно являются действительными числами. Квантовая механика имеет комплекснозначные волновые функции. Но физически значимые величины реальны.

То, что вы процитировали, - это определение «скаляра» в некотором физическом/математическом контексте.

Термин «скалярный» происходит от латинского слова scala , означающего лестницу; а умножение векторной величины на скаляр приводит к масштабированию ее величины, не влияя на ее ориентацию. Отсюда и название «скаляр». Но с годами математики постепенно исказили слово «скаляр», чтобы оно относилось даже к комплексным величинам, «масштабирующим» какую-то другую абстрактную математическую величину посредством умножения. Несмотря на то, что изначально умножение вектора на комплексную величину приводило как к масштабированию, так и к вращению вектора!

Таким образом, комплексное число может быть скаляром сегодня, когда оно используется для «масштабирования» другой математической абстрактной величины с помощью унарной операции, которую мы называем умножением. Но так, как изначально не предполагалось в определении «скаляр».