Каков физический смысл двойной связности группового многообразия SO(3)SO(3)\rm SO(3)?

Именно ввиду двойного универсального покрытия, обеспечиваемого$SU(2)$,$SO(3)$должен частное$SU(2)$относительно центральной дискретной нормальной подгруппы с двумя элементами. Это следствие общего свойства универсальных накрывающих групп Ли:

Если$\pi: \tilde{G} \to G$универсальный накрывающий гомоморфизм групп Ли, ядро$H$из$\pi$— дискретная нормальная центральная подгруппа универсального накрытия$\tilde{G}$из$G= \tilde{G}/H$, а также$H$изоморфна фундаментальной группе$G$, т.е.$\pi_1(G)$(который для групп Ли абелев) .

Один элемент этой подгруппы должен быть$I$(поскольку в группу входит нейтральный элемент). Другой,$J$, необходимо проверить$JJ=I$и поэтому$J=J^{-1}= J^\dagger$. Непосредственным осмотром видно, что в$SU(2)$это возможно только для$J= -I$. Так$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$.

Заметь$\{I,-I\} = \{e^{i4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }, e^{i2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }\}$остается в центре$SU(2)$, а именно элементы этой подгруппы коммутируют со всеми элементами группы$SU(2)$. Более того$\{I,-I\}=: \mathbb Z_2$есть только первая гомотопическая группа$SO(3)$как и должно быть ввиду общего утверждения, которое я процитировал выше.

Унитарные представления$SO(3)$также является представлением$SU(2)$через проекционный гомоморфизм группы Ли$\pi: SU(2) \to SU(2)/\{I,-I\} = SO(3)$. Итак, изучая унитарные повторения$SU(2)$охватывает весь класс унитарных повторений$SO(3)$. Давайте изучим эти повторения.

Рассмотрим унитарное представление$U$из$SU(2)$в гильбертовом пространстве$H$. Центральная подгруппа$\{I,-I\}$должен быть представлен$U(I)= I_H$а также$U(-I)= J_H$, но$J_HJ_H= I_H$так, как прежде,$J_H= J_H^{-1}= J_H^\dagger$.

В качестве$J_H$является унитарным и самосопряженным одновременно, его спектр должен быть включен в$\mathbb R \cap \{\lambda \in \mathbb C \:|\: |\lambda|=1\}$. Итак, а) он сделан из$\pm 1$не более чем и (b) спектр является чисто точечным спектром , и поэтому в его спектральном разложении возникают только собственные собственные виды.

Если$-1$не присутствует в спектре, единственное собственное значение$1$и поэтому$U(-I)= I_H$. Если только собственное значение$-1$вместо этого присутствует$U(-I)= -I_H$.

Если представление неприводимо $\pm 1$не могут быть одновременно собственными значениями. В противном случае$H$будет разбит на ортогональную прямую сумму собственных пространств$H_{+1}\oplus H_{-1}$. В качестве$U(-1)=J_H$коммутирует со всеми$U(g)$(потому что$-I$находится в центре$SU(2)$а также$U$является представлением),$H_{+1}$а также$H_{-1}$были бы инвариантными подпространствами для всех представлений, и это запрещено, поскольку$U$является неприводимым .

Мы заключаем, что

если$U$является неприводимым унитарным представлением$SU(2)$, дискретная нормальная подгруппа$\{I,-I\}$может быть представлен только либо$\{I_H\}$или же$\{I_H, -I_H\}$.

Более того:

С$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$, в первом случае$U$также является представлением$SO(3)$. Это означает, что$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma} }$а также$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$оба превращаются в$I_H$по$U$.

В последнем случае вместо$U$не является истинным представлением$SO(3)$, как раз ввиду знака, появляющегося после$2\pi$, потому что$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$превращается в$-I_H$и только$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }$превращается в$I$по$U$.