Вариация действия Максвелла по отношению к вирбейну - Теория Эйнштейна-Картана

Я использую справочник «Дифференциальная геометрия, калибровочные теории и гравитация» М. Гёкелера и Т. Шюкера, и у меня возникают проблемы с правильным изменением лагранжиана.

л М "=" 1 2 г 2 Ф ∧ * Ф

по отношению к Vierbein е а чтобы найти Энергию-импульс действия Максвелла.

При выполнении е → е + ф в ларагиане выше я нахожу

л [ е + ф ] М − л [ е ] М "=" 1 г 2 ф с ( 1 4 Ф а б ϵ а б с д е д ∧ Ф + 1 2 Ф с б е б ∧ * | е Ф ) .

Однако правильный ответ, присутствующий в приведенной выше ссылке,

л [ е + ф ] М − л [ е ] М "=" 1 г 2 ф с ( 1 4 Ф а б ϵ а б с д е д ∧ Ф − 1 2 Ф с б е б ∧ * | е Ф ) .

(единственное отличие - знак минус в выражении в скобках)

Я много работал, но не мог определить свою ошибку. Итак, кто-нибудь знает что-нибудь нетривиальное в обращении с формами в данном случае?

(В данном случае используется лоренцевская подпись)

Весь расчет, который я сделал, был следующим:

С

л М [ е ] "=" 1 2 г 2 Ф ∧ * Ф "=" 1 2 г 2 [ 1 2 Ф а б е а ∧ е б ∧ ( 1 4 Ф α β ϵ α β с д е с ∧ е д ) ] "=" 1 16 г 2 ( Ф а б Ф α β ϵ α β с д е а ∧ е б ∧ е с ∧ е д )

Затем, делая е → е + ф , и пренебрегая членами, квадратичными по ф , мы ведем к

л М [ е + ф ] − л М [ е ] "=" 1 16 г 2 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ( ф а ∧ е б ∧ е с ∧ е д + е а ∧ ф б ∧ е с ∧ е д + е а ∧ е б ∧ ф с ∧ е д + е а ∧ е б ∧ е с ∧ ф д ) "=" 1 16 г 2 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ( 2 ф а ∧ е б ∧ е с ∧ е д + 2 е а ∧ е б ∧ ф с ∧ е д ) "=" 1 8 г 2 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ( ф а ∧ е б ∧ е с ∧ е д + е а ∧ е б ∧ ф с ∧ е д ) "=" 1 2 г 2 ( 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ф а ∧ е б ∧ е с ∧ е д + 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д е а ∧ е б ∧ ф с ∧ е д ) "=" 1 2 г 2 [ ф а ∧ ( 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ) е б ∧ е с ∧ е д + ф с ∧ ( 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ) е а ∧ е б ∧ е д ] "=" 1 2 г 2 [ ф а ∧ ( 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ) е б ∧ е с ∧ е д + ф а ∧ ( 1 4 Ф с б Ф α β ϵ α β а д ) е с ∧ е б ∧ е д ]

И тогда у нас есть

л М [ е + ф ] − л М [ е ] "=" 1 2 г 2 ф а ∧ [ ( 1 4 Ф а б Ф α β ϵ α β с д ) е б ∧ е с ∧ е д + ( 1 4 Ф с б Ф α β ϵ α β а д ) е с ∧ е б ∧ е д ] "=" 1 2 г 2 ф а ∧ [ Ф а б е б ∧ * | е Ф + ( 1 2 Ф α β ϵ α β а д ) Ф ∧ е д ] "=" 1 2 г 2 ф а ∧ [ Ф а б е б ∧ * | е Ф + ( 1 2 Ф α β ϵ α β а д ) е д ∧ Ф ]

Переобозначая индексы, мы, наконец, имеем

л М [ е + ф ] − л М [ е ] "=" 1 г 2 ф с ∧ [ 1 2 Ф с б е б ∧ * | е Ф + ( 1 4 Ф а б ϵ а б с д ) е д ∧ Ф ] "=" 1 г 2 ф с ∧ [ ( 1 4 Ф а б ϵ а б с д ) е д ∧ Ф + 1 2 Ф с б е б ∧ * | е Ф ]

Это не соответствует ссылке из-за знака плюс (должен быть минус) и, опять же, я не мог определить, где я сделал что-то не так.

Я не знаю, какой шаг вам не хватает. От (5.74) до (5.75) это просто. У вас получилось (5.74) так же, как в книге.
Я думаю л [ е + ф ] М − л [ е ] М "=" 1 г 2 ф с ∧ ( 1 4 Ф а б ϵ а б с д е д ∧ Ф − 1 2 Ф с б е б ∧ * | е Ф ) . правильнее.
Я отредактировал сообщение, включив в него расчет, который я сделал (мне было проще не следовать строго Идентичности и расчету книги).

Ответы (2)

Я так понимаю обозначения в книге

е а ∧ е б ∧ ⋆ | е Ф ≡ е а ∧ е б ∧ ⋆ Ф "=" Ф ∧ ⋆ ( е а ∧ е б ) "=" ⋆ ( е а ∧ е б ) ∧ Ф .
Теперь в более точном определении двойственности по Ходже (в доказательстве из определения есть шаг переворачивания индексов для получения более симметричного результата, но мы сначала не переворачиваем их здесь) мы имеем
⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" 1 2 ϵ а б с д ф с ∧ е д .
В случае ⋆ ( е ∧ е ) , нет проблем с переворачиванием индексов
1 2 ϵ а б с д е с ∧ е д "=" 1 2 ϵ а б с д е с ∧ е д .
Но в случае ⋆ ( ф ∧ е ) у нас есть
⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" 1 2 ϵ а б с д ф с ∧ е д "=" 1 2 ϵ а б е ф η с е η ф д ф с ∧ е д "=" 1 2 ϵ а б е ф η с е ф с ∧ е ф "=" − 1 2 ϵ а б е ф ф е ∧ е ф .
Это потому что е подчиняется законам преобразования
е а ⟼ е а + ф а е а ⟼ е а − ф а η а б ф а "=" − ф б .
С
ф а ∧ е б ∧ ⋆ | е Ф "=" ⋆ ( ф а ∧ е б ) ∧ Ф "=" − 1 2 ϵ а б с д ф с ∧ е д ∧ Ф
мы можем получить тот же результат, что и в ссылке.

Извините, что вынужден поднимать эту тему, но у меня та же проблема, что и у автора. Подведем итог: пользователь 148471 пытался сказать, что

  1. Мы должны сделать замену е а ↦ е а + ф а , а ТОГДА вычислить двойственность по Ходжу, а не наоборот.
  2. Мы получили
    ⋆ ( е а ∧ е б ) "=" 1 2 ϵ с д а б е с ∧ е д
    НО
    ⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" − 1 2 ϵ с д а б ф с ∧ е д .
  3. Мы определяем ф а как
    ф а "=" − г а б ф б "=" − η а б ф б ,
    следовательно
    η а б ф а "=" − η а б η а с ф с "=" − дельта   с б ф с "=" − ф б

По поводу 2. Формула

⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" − 1 2 ϵ с д а б ф с ∧ е д .
решил бы проблему. Но правильно ли это? Формула кажется бессмысленной, так как ф а ,   а "=" 0 , 1 , 2 , 3 являются любыми вариациями 1-форм базиса. Что, если мы возьмем
ф а "=" е а ,   а "=" 0 , 1 , 2 , 3 ?
Тогда у нас будет
⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" ⋆ ( е а ∧ е б )
и
− 1 2 ϵ с д а б е с ∧ е д "=" − 1 2 ϵ с д а б ф с ∧ е д "=" ⋆ ( ф а ∧ е б ) "=" ⋆ ( е а ∧ е б ) "=" 1 2 ϵ с д а б е с ∧ е д .
Это говорит нам, что
⋆ ( е а ∧ е б ) "=" 0 ,
но почему он должен равняться 0? Когда а "=" б затем
⋆ ( е а ∧ е б ) "=" 0 ,
но а и б не должны быть равны.

Вариация действия Максвелла по отношению к вирбейну - Теория Эйнштейна-Картана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v