Изменение действия (космологическая теория возмущений)

Question

пользователь21119

Я застрял, варьируя действие, пытаясь получить уравнение движения. (Переход от уравнения 91 к уравнению 92 на изображении.) Это действие

С "=" \int г^{4} Икс \frac{а^{2} (т)}{2} ({\dot{час}}^{2} - (\nabla час)^{2}) .

$S~=~\int d^{4}x \frac{a^{2}(t)}{2}(\dot{h}^{2}-(\nabla h)^2).$

И это решение,

\ddot{час} + 2 \frac{\dot{а}}{а} \dot{час} - \nabla^{2} час "=" 0.

$\ddot{h} + 2 \frac{\dot{a}}{a}\dot{h} - \nabla^{2}h~=~0.$

Это то, что я получаю

\partial_{0} (а^{2} \partial_{0} час) - \partial_{0} (а^{2} \nabla час) - \nabla (а^{2} \partial_{0} час) + \nabla^{2} (час а^{2}) "=" 0.

$\partial_{0}(a^{2}\partial_{0}h)-\partial_{0}(a^{2}\nabla h)-\nabla(a^{2}\partial_{0}h)+\nabla^{2}(ha^{2})~=~0.$

Я действительно не вижу своей ошибки, возможно, я что-то упускаю. (точка представляет $\partial_{0}$ )

Вот эта проблема (см. «Лекции по теории космологических возмущений» Бранденбургера):

введите описание изображения здесь

Комментарий к вопросу (v1): Как получить второй и третий члены со смешанными временными и пространственными производными?

Кросс-опубликовано с math.stackexchange.com/q/325481/11127

Комментарий к вопросу (v1): Как получить второй и третий члены со смешанными временными и пространственными производными?
Кросс-опубликовано с math.stackexchange.com/q/325481/11127

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

Лагранжева плотность в $(+,-,-,-)$ конвенция
$л "=" \frac{а^{2}}{2} г_{мю} час г^{мю} час .$ ${\cal L}~=~\frac{a^2}{2}d_{\mu}h ~d^{\mu}h.$
Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа (путем варьирования действия $S[h]=\int \!d^4x ~{\cal L}$ относительно поле $h$ ) является
$г_{мю} (а^{2} г^{мю} час) "=" 0.$ $d_{\mu}(a^2 ~d^{\mu}h)~=~0.$
Или, что то же самое, в предположении, что $a=a(t)$ ,
$\frac{2 \dot{а} \dot{час}}{а} + г_{мю} г^{мю} час "=" 0.$ $\frac{2\dot{a}\dot{h}}{a} + d_{\mu}d^{\mu}h~=~0.$
Наконец, преобразуйте Фурье три пространственных направления, чтобы получить ур. (92).

спасибо, конечно, просто чтобы проверить, означает ли преобразование Фурье, что нужно перейти в $h=h(t)e^{ikx}$ или это $h=h(t)e^{ikx}+h(t)^{*}e^{-ikx}$ ? Я всегда путаюсь с этим, как можно упростить это, чтобы получить желаемый результат?