Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

Question

Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

Физика
Энтропия
Статистико-механика
Флуктуационно-рассеивание

aidan.plenert.macdonald

В «Теореме о флуктуации» Эванса и Сирла они выводят теорему о переходных флуктуациях из теоремы Лиувилля (стр. 1541). Следуя их обозначениям $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ = (\vec{q}, \vec{p})$ $Γ знак равно (\vec{Q}, \vec{п})$ они используют теорему Лиувилля и уравнение непрерывности, чтобы сделать вывод, что

\begin{aligned} \frac{d е}{d T} & знак равно \frac{\partial е}{\partial T} + \frac{d е}{d Γ} \cdot \dot{Γ} \\ 0 & знак равно \frac{\partial е}{\partial T} + \frac{d}{d Γ} \cdot (е \dot{Γ}) \\ ∴ \frac{d е}{d T} & знак равно - е \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}, \end{aligned}

Затем они определяют $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ (Γ) знак равно \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ и вывести теорему флуктуации, определяющую функцию диссипации как

\begin{aligned} Ω_{T} T & знак равно \int_{0}^{T} Ω (Γ (s)) d s \equiv пер [\frac{е (Γ (0), 0)}{е (Γ (T), 0)}] - \int_{0}^{T} Λ (Γ (s)) d s, \end{aligned}

Википедия определяет,

\begin{aligned} Ω_{T} (Γ) знак равно \int_{0}^{T} d s Ω (Γ; s) \equiv пер [\frac{е (Γ (0), 0)}{е (Γ (T), 0)}] + \frac{Δ Q (Γ; T)}{К T}, \end{aligned}

Какая магия позволяет этот прыжок? Почему в Википедии отсутствует фактор $t$ $t$ $T$ спереди?

Одна вещь, которую я заметил, это то, что для неконсервативных систем

\begin{aligned} {\dot{Q}}_{я} знак равно \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{я}} + F_{Q} & ; {\dot{п}}_{я} знак равно - \frac{\partial ЧАС}{\partial Q_{я}} + F_{п} \end{aligned}

\begin{aligned} Λ (Γ (s)) & знак равно \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ} знак равно \underset{я}{Σ} (\frac{\partial^{2} ЧАС}{\partial Q_{я} \partial п_{я}} - \frac{\partial^{2} ЧАС}{\partial п_{я} \partial Q_{я}} + (\frac{\partial F_{Q}}{\partial Q_{я}} + \frac{\partial F_{п}}{\partial п_{я}})) знак равно \underset{я}{Σ} (\frac{\partial F_{Q}}{\partial Q_{я}} + \frac{\partial F_{п}}{\partial п_{я}}) \\ \frac{Δ Q (Γ; T)}{К T} & знак равно - \int_{0}^{T} Λ (Γ (s)) d s знак равно - \underset{я}{Σ} \int_{0}^{T} (\frac{\partial F_{Q}}{\partial Q_{я}} + \frac{\partial F_{п}}{\partial п_{я}}), \end{aligned}

Таким образом, для чисто консервативных систем $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{q} = F_{p} = 0$ $F_{Q} знак равно F_{п} знак равно 0$ ,

\begin{aligned} \frac{п р (Ω_{T} знак равно)}{п р (Ω_{T} знак равно -)} & знак равно 1, \end{aligned}

Таким образом, генерация энтропии происходит от условий принуждения или рассеяния.

honeste_vivere

Сжимаемость фазового пространства (т.е.

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d f / d t \neq 0

d е / d T \neq 0

) само по себе подразумевает необратимость, которая часто интерпретируется как производство энтропии (хотя я должен отметить, что энтропия и необратимость не могут быть синонимами).

aidan.plenert.macdonald

@honeste_vivere Спасибо! Как бы вы вычислили энтропию в этом случае? Нормальная энтропия Больцмана / Шеннона

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int f \log f

- \int е журнал е

не похоже, что это может быть когда-либо связано с

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

\int Λ (Γ (s)) d s

так как

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

Λ знак равно \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}

не имеет каких-либо факторов

f

f

е

aidan.plenert.macdonald

Я спрашиваю, потому что если вам нужно вычислить это с каким-то суммированием

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})

\underset{я}{Σ} г (Q_{я}, п_{я})

над частицами (т. е. энтропия частиц, а не над аналогично подготовленных ансамблей, распределенных как

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

f (Γ)

е (Γ)

), тогда я мог видеть себя, возможно, налаживающим соединение.

honeste_vivere

Вы можете использовать нечто похожее на теорию возмущений и / или теорию среднего поля, где вы строите / предполагаете

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

f \approx ⟨ f ⟩ + δ f

е \approx ⟨ е ⟩ + δ е

а затем вычислить нормальное

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

f \log f

е журнал е

на первый заказ. Технически, навязывая / допуская теорему о флуктуации рассеяния, вы «вставили» необратимость в уравнения. Это одно из следствий приближения случайной фазы.

aidan.plenert.macdonald

Как это помогает, если нет

f

f

е

в

Γ

Γ

Γ

? Или делает

f

f

е

как-то отменить, чтобы получить

Γ

Γ

Γ

только выражение?

Ответы (1)

Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

Сжимаемость фазового пространства (т.е. $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d f / d t \neq 0$ $d е / d T \neq 0$ ) само по себе подразумевает необратимость, которая часто интерпретируется как производство энтропии (хотя я должен отметить, что энтропия и необратимость не могут быть синонимами).
@honeste_vivere Спасибо! Как бы вы вычислили энтропию в этом случае? Нормальная энтропия Больцмана / Шеннона $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int f \log f$ $- \int е журнал е$ не похоже, что это может быть когда-либо связано с $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ $\int Λ (Γ (s)) d s$ так как $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ = \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ $Λ знак равно \frac{d}{d Γ} \cdot \dot{Γ}$ не имеет каких-либо факторов $f$ $f$ $е$
Я спрашиваю, потому что если вам нужно вычислить это с каким-то суммированием $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\sum_{i} g (q_{i}, p_{i})$ $\underset{я}{Σ} г (Q_{я}, п_{я})$ над частицами (т. е. энтропия частиц, а не над аналогично подготовленных ансамблей, распределенных как $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $f (Γ)$ $е (Γ)$ ), тогда я мог видеть себя, возможно, налаживающим соединение.
Вы можете использовать нечто похожее на теорию возмущений и / или теорию среднего поля, где вы строите / предполагаете $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $f \approx ⟨ f ⟩ + δ f$ $е \approx ⟨ е ⟩ + δ е$ а затем вычислить нормальное $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $f \log f$ $е журнал е$ на первый заказ. Технически, навязывая / допуская теорему о флуктуации рассеяния, вы «вставили» необратимость в уравнения. Это одно из следствий приближения случайной фазы.
Как это помогает, если нет $f$ $f$ $е$ в $Γ$ $Γ$ $Γ$ ? Или делает $f$ $f$ $е$ как-то отменить, чтобы получить $Γ$ $Γ$ $Γ$ только выражение?

honeste_vivere · Answer 1

Больцман, Власов и Энтропия

Уравнение Власова является бесстолкновительной формой уравнения Больцмана . Уравнение Власова можно записать в виде:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial е_{s}}{\partial T} + v \cdot \nabla е_{s} + \frac{F}{м_{s}} \cdot \nabla_{v} е_{s} знак равно 0 \end{matrix}

где

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

е_{s} знак равно е_{s} (Икс, v, T)

функция распределения частиц по скоростям вида

s

s

s

(например, максвелловский ),

F

F

F

является внешней силой, а k- ^й компонент

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

\nabla_{v}

дан кем-то

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{k} \partial / \partial v_{k}

\hat{К} \partial / \partial v_{К}

, Давайте изменим уравнение 1, используя силу Лоренца для

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{e m}

F \to F_{е м}

и линеаризировать его, т.е. предположить

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

Q \to ⟨ Q ⟩ + δ Q

, где

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

средний ансамбль и

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ = 0

⟨ δ Q ⟩ знак равно 0

, Исходя из этого, мы можем построить среднюю и колеблющуюся форму уравнения 1. Я опущу индекс

s

s

s

из лени для остальной части деривации.

Средняя форма определяется как:

\begin{matrix} (2а) & \frac{\partial ⟨ е ⟩}{\partial T} + v \cdot \nabla ⟨ е ⟩ + \frac{⟨ F_{е м} ⟩}{м} \cdot \nabla_{v} ⟨ е ⟩ знак равно С \end{matrix}

где

C

C

С

является прокси для термина столкновения, заданного:

\begin{matrix} (2b) & С знак равно - ⟨ \frac{δ F_{е м}}{м} \cdot \nabla_{v} δ е ⟩ \end{matrix}

Флуктуирующая форма определяется как:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial}{\partial T} δ е + v \cdot \nabla δ е + ⟨ F_{е м} ⟩ \cdot \nabla_{v} δ е + δ F_{е м} \cdot \nabla_{v} ⟨ е ⟩ знак равно - δ F_{е м} \cdot \nabla_{v} δ е - С \end{matrix}

Есть важное различие между термином столкновения, $C$ $C$ $С$ и классический бинарный член столкновения, найденный в уравнении Больцмана. $C$ $C$ $С$ не сохраняет локальный импульс и плотность энергии частиц. Важнее, $C$ $C$ $С$ не приводит к релаксации плазмы до максвелловского (например, см. Tidman and Krall , 1971).

Энтропия Гиббса может быть записана как:

\begin{matrix} (4) & S знак равно - К_{В} \int_{L L d Икс d v} d Икс d v ⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ | \end{matrix}

Гиббс понял, что уравнение 4 может расходиться до отрицательной бесконечности, если не использовать одночастичное распределение вероятностей , которое является средним по ансамблевым состояниям (таким образом,

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

⟨ ⟩

«S). Интересное наблюдение состоит в том, что уравнение Лиувилля также предсказывает, что уравнение 4 расходится к отрицательной бесконечности без использования средних по ансамблю [например, Evans and Morriss , 1990]. Причина расхождения заключается в том, что возмущения переходят в меньшие и меньшие масштабы в фазовом пространстве, что требует более высоких и более высоких размерных форм

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

f (x, v, t)

е (Икс, v, T)

, Одним из последствий (возможно косвенных?) Этого интуитивного скачка было развитие таких вещей, как теория среднего поля .

Уравнение Лиувилля

Первая часть следующего адаптирована из моего ответа на https://physics.stackexchange.com/a/177972/59023 .

Мы знаем это $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ е ⟩$ удовлетворяет уравнению Лиувилля , или, более подходяще, $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ f ⟩$ $\partial ⟨ е ⟩$ / $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial t = 0$ $\partial T знак равно 0$ , В общем, уравнение движения состояний:

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial е}{\partial T} знак равно е [(\frac{\partial}{\partial Q} \frac{d Q}{d T}) + (\frac{\partial}{\partial п} \frac{d п}{d T})] + [\frac{d Q}{d T} \cdot \frac{\partial е}{\partial Q} + \frac{d п}{d T} \cdot \frac{\partial е}{\partial п}] \end{matrix}

где я определил каноническое фазовое пространство

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(q, p)

(Q, п)

, Если я упросту условия

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d t

d Q / d T

в

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

\dot{Q}

и разреши

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ = (q, p)

Γ знак равно (Q, п)

тогда я нахожу:

\begin{aligned} (6а) & \frac{\partial е}{\partial T} & знак равно - е \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} - \dot{Γ} \cdot \frac{\partial е}{\partial Γ} \\ (6b) & знак равно - \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot (\dot{Γ} е) \end{aligned}

где видно, что последняя форма выглядит как уравнение неразрывности. Если я определяю общую производную по времени как:

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d T} знак равно \frac{\partial}{\partial T} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial}{\partial Γ} \end{matrix}

тогда я могу показать, что скорость изменения функции распределения определяется как:

\begin{aligned} (8а) & \frac{d е}{d T} & знак равно \frac{\partial е}{\partial T} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial е}{\partial Γ} \\ (8b) & знак равно - [е \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial е}{\partial Γ}] + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial е}{\partial Γ} \\ (8c) & знак равно - е \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} \\ (8d) & \equiv - е Λ (Γ) \end{aligned}

где

Λ (Γ)

Λ (Γ)

Λ (Γ)

называется коэффициентом сжатия фазового пространства [например, Evans and Morriss , 1990]. Обратите внимание, что уравнения с 8a по 8d являются различными формами уравнения Лиувилля, которые были получены без ссылки на уравнения движения и не требуют существования гамильтониана . Я могу переписать уравнение 8d в следующем виде:

\begin{matrix} (9) & \frac{d}{d T} пер | е | знак равно - Λ (Γ) \end{matrix}

Если уравнения движения могут быть получены из гамильтониана, то $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) знак равно 0$ даже при наличии внешних полей, которые действуют, чтобы оттолкнуть систему от равновесия. Отметим, что существование гамильтониана является достаточным, но не обязательным условием для $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) = 0$ $Λ (Γ) знак равно 0$ ,

Производство энтропии

Напомним, что мы определили $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial t = 0$ $\partial ⟨ Q ⟩ / \partial T знак равно 0$ и мы знаем из уравнения 9, что $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d T пер ⟨ е ⟩ знак равно 0$ для консервативных систем (т. е. с несжимаемым фазовым пространством). Если мы определим $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ f ⟩ \ln | ⟨ f ⟩ |$ $F \equiv ⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ |$ тогда мы можем показать, что:

\begin{aligned} (10a) & \frac{\partial F}{\partial T} \equiv \frac{\partial}{\partial T} (⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ |) & знак равно (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) \frac{\partial ⟨ е ⟩}{\partial T} знак равно 0 \\ (10b) & \frac{\partial F}{\partial T} + \nabla \cdot (v F) & знак равно 0 \\ (10c) & знак равно \frac{d F}{d T} + F (\nabla \cdot v) \\ (10d) & 0 + \nabla \cdot (v F) & знак равно ⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ | (\nabla \cdot v) + (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) [v \cdot \nabla ⟨ е ⟩] \end{aligned}

Используя эти отношения, можно показать, что:

\begin{aligned} (11а) & (\nabla \cdot v) F & знак равно - v \cdot \nabla F \\ (11b) & (\nabla \cdot v) (⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ |) & знак равно - v \cdot \nabla (⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ |) \\ (11c) & знак равно - ⟨ е ⟩ v \cdot \nabla пер | ⟨ е ⟩ | - пер | ⟨ е ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ е ⟩ \\ (11d) & знак равно - v \cdot \nabla ⟨ е ⟩ - пер | ⟨ е ⟩ | v \cdot \nabla ⟨ е ⟩ \\ (11e) & знак равно - (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) v \cdot \nabla ⟨ е ⟩ \end{aligned}

Мы также знаем, что в пределе $x \to \pm \infty$ $x \to \pm \infty$ $Икс \to \pm \infty$ , семестр $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{e m} ⟩ \to 0$ $⟨ F_{е м} ⟩ \to 0$ потому что мы предполагаем, что все градиенты асимптотически приближаются к нулю в этом пределе и $C$ $C$ $С$ -терм также идет к нулю. Следовательно, мы находим, что уравнение 2а действует на величину:

\begin{matrix} (12) & \int d v (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) \end{matrix}

результаты в следующем:

\begin{aligned} (13а) & [\frac{\partial}{\partial T} + v \cdot \nabla + ⟨ F_{е м} ⟩ \cdot \nabla_{v}] \int d v (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) & знак равно \int d v С (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) \\ (13b) & [v \cdot \nabla] \int d v (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) & знак равно \int d v С (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) \\ (13c) & \nabla \cdot \int d v v ⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ | & знак равно \int d v С (1 + пер | ⟨ е ⟩ |) \end{aligned}

Теперь мы вставляем форму для

C

C

С

из уравнения 2b, чтобы найти:

\begin{matrix} (14) & \nabla \cdot \int d v v ⟨ е ⟩ пер | ⟨ е ⟩ | знак равно \frac{е}{м} \int d v ⟨ δ F_{е м} δ е ⟩ \cdot \nabla_{v} пер | ⟨ е ⟩ | \end{matrix}

где член с левой стороны является дивергенцией потока энтропии .

Уравнение 14 является примером того, как можно получить энтропию в бесстолкновительной среде с несжимаемым фазовым пространством, которая возникает из зависимости от времени в $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ е ⟩$ введены ненулевыми колебаниями, заданными $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{e m} δ f ⟩$ $⟨ δ F_{е м} δ е ⟩$ -срок. Так что хотя $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ f ⟩$ $⟨ е ⟩$ сохраняется вдоль фазовых траекторий из несжимаемого уравнения Лиувилля, развивает все более и более тонкие особенности, соответствующие фазовому перемешиванию. Введение необратимости (т. Е. И энтропии здесь) в эту систему во многом является результатом подхода, который аналогичен процедуре грубой зернистости, используемой для вывода уравнения Больцмана из обратимого уравнения Лиувилля [например, Evans and Morriss , 1990 ; Тидман и Кралл , 1971].

Аналогичный подход может быть использован, если мы не предполагаем $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d t \ln ⟨ f ⟩ = 0$ $d / d T пер ⟨ е ⟩ знак равно 0$ вывести форму для энтропии.

Как функция диссипации теоремы флуктуации становится энтропией?

aidan.plenert.macdonald

honeste_vivere

aidan.plenert.macdonald

aidan.plenert.macdonald

honeste_vivere

aidan.plenert.macdonald

Ответы (1)

honeste_vivere

Больцман, Власов и Энтропия

Уравнение Лиувилля

Производство энтропии

Рекомендации

aidan.plenert.macdonald

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Почему тепло, добавляемое в систему при более низкой температуре, вызывает увеличение энтропии?

Какова теорема Голдстоуна для классических, чисто термодинамических систем?

Momentum Shell RG для модели Ising

Увеличение энтропии от хаоса?

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]