Вещественное скалярное поле: в каком смысле моды Минковского полны?

При рассмотрении реального скалярного поля с лагранжианом

$$\mathcal{L} = - \frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2$$ уравнение движения - уравнение Клейна-Гордона $(\Box_{x} - m^2) \phi(x)=0$.

В текстах по КТП в искривленном пространстве-времени квантование поля$\phi$выполняется суммированием по модам Минковского$\{ u_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(положительные частотные моды) и$\{ u^{\ast}_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(моды с отрицательной частотой), которые представляют собой плосковолновые решения уравнения КГ, обозначенного трехимпульсной$\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3$:

$$u_{\mathbf{k}}(x) \ = \ u_{\mathbf{k}}(x^0,\mathbf{x}) \ = \ \left( (2\pi)^3 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}} e^{ - i \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 }\ x^0 + i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} }$$ Моды Минковского имеют нормализацию $\left( (2\pi^3) 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}}$потому что они нормированы относительно скалярного произведения Клейна-Гордона, определенного для любых комплекснозначных функций $f,g$как $$\langle f,g\rangle = i \int_{\Sigma} d^{3}\mathbf{x} \ \left[ f^{\ast}(x) \frac{\partial g}{\partial x^0} - \frac{\partial f^{\ast}}{\partial x^0} g(x) \right]$$

Где$\Sigma$представляет собой трехмерную гиперповерхность постоянного времени$x^0$(так как интегрируемая функция является сохраняющимся током, то значение$\langle f,g\rangle$не зависит от выбора$\Sigma$используется для его интеграции). Моды Минковского нормированы таким образом, что:

$$\langle u_{\mathbf{k}}, u_{\mathbf{p}} \rangle = \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p}) \\ \langle u_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = 0 \\ \langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = - \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p})$$

На этом этапе в текстах часто говорится, что моды Минковского завершены , поэтому мы можем расширить скалярное поле.$\phi$как$\phi(x) = \sum u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$, а затем квантовать$a_{\mathbf{k}}$и$a_{\mathbf{k}}^{\dagger}$, и так далее.

Мой вопрос: что именно означает, что моды Минковского здесь полны?

Все тексты, кажется, затуманивают этот момент. Я хочу сказать, что должно быть отношение полноты$\sum_{\mathbf{k}} u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x)u_{\mathbf{k}}(y)$что пропорционально либо$\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})$или, может быть$\delta^{(4)}(x - y)$но это не похоже на правду. Я даже не уверен, что такое векторное пространство, которое здесь полно.

РЕДАКТИРОВАТЬ 1: я работаю в обычных прямоугольных координатах Минковского (плоское пространство) с метрикой$\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$. Меня интересует, как построить моды в этом простейшем случае (искривленные тексты пространства-времени затем обобщают эту процедуру на произвольные многообразия)

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Я предполагаю, что способ понять полноту здесь - это что-то вроде строк, как в QM. Если$\{ |n\rangle \}_{n=1}^{N}$представляет собой полный набор состояний для некоторого$N$-мерное гильбертово пространство$\mathcal{H}$, то имеем$\sum_{n=1}^N |n\rangle\langle n| = \mathbb{I}_{N\times N}$, что позволяет расширить произвольное состояние$|\psi\rangle$как$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^N \langle n|\psi\rangle |n\rangle$. Расширение сделано на поле$\phi(x)$точно$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \big[ u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}}^{\dagger} \big]$, где$a_{\mathbf{k}}=\langle u_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$и$a^{\dagger}_{\mathbf{k}}=\langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$.