Визуализация гравитации

Я включил пару изображений, которые представляют собой трехмерное искривление пространства-времени. Очевидно, это изображения художника и математика, но, возможно, они дадут вам лучшее представление.

Изображение 1

На этом изображении показан шар (представляющий собой массивный объект), искривляющий пространство-время вокруг себя. В своем вопросе вы упомянули, что видели массивный объект, искривляющий двухмерную плоскость. Это изображение должно показать массивный объект, искривляющий 3 измерения, и он делает это, показывая трехмерную сетку, представляющую пространство-время, и планету, притягивающую куб вокруг себя.

Изображение 2

Предполагается, что это показывает гравитацию двух взаимодействующих астрономических тел. По общему признанию, это кажется самым причудливым изображением, но это очень интересный способ показать, как это происходит. Желто-белые линии, исходящие от каждого объекта, показывают влияние этого объекта на пространство-время.

Изображение 3

На этом изображении показано искривление пространства-времени Земли, как и на первом изображении. Вид сбоку немного понятнее. Земля искажает миниатюрные кубики внутри сетки.

Надеюсь это поможет!

Визуализация — очень личная вещь, и вы должны выбрать то, что работает для вас. Аналогии могут быть хорошими или плохими, но никогда не бывают ошибочными, и наука всегда активно использовала аналогии, чтобы делать свои первые шаги в любой области. В общем, вам нужно спросить:

Является ли визуализация полезной или полезной?

и, в ОТО, я твердо придерживаюсь мнения, что все повседневные визуализации, такие как мячи на резиновых листах, не являются неправильными, но очень изнурительными . Проще говоря, они сдерживают вас и препятствуют вашему интеллектуальному прогрессу. Если вы продолжаете мыслить в терминах визуальных картинок, вы не можете продвинуться дальше этих картинок, а общая теория относительности имеет дело с геометрическими понятиями и свойствами пространства-времени, которые мы никогда не встречаем в нашей повседневной жизни, и мы не встречали их в мире, который формировал наш образ мышления во времена наша эволюционная история.

Основным объектом для «визуализации гравитации» является тензор кривизны. Название «кривизна» немного неудачно в ОТО, потому что оно предполагает резиновые листы и тому подобное. Это правда, что оно сильно соответствует нашему повседневному представлению о кривизне одномерных и двумерных объектов (таких как круг или воздушный шар соответственно), но делает это таким образом, что его можно обобщить на более высокие измерения. Тензор кривизны измеряет, как изменяется вектор, когда вы перемещаете его по петле с помощью так называемого параллельного переноса. Это означает, что вы считаете, что ваша петля состоит из кусочных геодезических (максимально прямых возможных линий), и, следуя им, вы держите свой тестовый вектор под постоянным углом к ​​геодезическим. Когда вы поворачиваетесь к следующей кусочной геодезической в ​​вершине многоугольника, который вы используете для аппроксимации вашей петли, вы сохраняете тестовый вектор в том же направлении. Попробуйте это на плоском листе бумаги, и вектор проходит по петле без изменения направления. Сделайте это на поверхности Земли, и произойдет изменение направления. Попробуйте: представьте, что вы находитесь на экваторе, а ваш вектор указывает на юг. Вы движетесь вдоль экватора так, что дуга, по которой вы идете, образует некоторый угол$\theta$в центре Земли. Теперь поверните на север, но держите свой вектор в том же направлении, чтобы он теперь указывал прямо за вами. Теперь пройдите по большому кругу постоянной долготы к северному полюсу и поверните обратно через угол$\theta$чтобы вы стремились к начальной точке вдоль линии постоянной долготы. Теперь вернитесь к началу, и вы обнаружите, что ваш вектор повернулся на угол$\theta$при параллельном перемещении по петле. Более того, вы можете преобразовать это вращение в повседневное понятие кривизны: радиус кривизны$R$дан кем-то$R = \sqrt{\frac{A}{\theta}}$где$\theta$угол поворота из-за параллельного перемещения по петле и$A$площадь, ограниченная петлей. На плоском листе бумаги оно становится бесконечным. Интересно, что для конуса или круглого цилиндра она также бесконечна, а это значит, что эти поверхности можно разворачивать, у них нет внутренней кривизны . Нарисуйте на проявленной поверхности геометрические объекты, затем сверните поверхность обратно в цилиндр/конус и ваши картинки подвергнутся изометрии - длины и углы не искажаются. Сфера, с другой стороны, не может быть развита.

Это представление об изменении, вызванном параллельным перемещением, в отличие от повседневного представления (которое эквивалентно двумерным искривленным объектам), может быть распространено на более высокие измерения. В общем случае кривизна представляет собой матричную биллинейную функцию двух векторов . Вы определяете небольшой параллелограмм двумя векторами (которые называют его стороны)$X$и$Y$а затем матричнозначная функция$R(X,\,Y)$выдает матрицу$R$который говорит вам, как третий вектор$Z$трансформируется параллельным переносом по петле. В символах:$Z^\prime - Z = R(X,\,Y)\,Z$, где$Z$и$Z^\prime$являются вектором до и после транспортировки. На двухмерной поверхности Земли одинокий угол вращения и простой$2\times 2$матрица вращения определяет это изменение; действительно, матричную функцию можно записать:

где$\det((X,\,Y))$является определителем матрицы с$X$и$Y$в качестве его столбцов. Это бесконечно малый поворот на угол, равный площади маленькой петли, деленной на квадрат радиуса кривизны.

В четырехмерном пространстве-времени$R(X,\,Y)$больше не просто бесконечно малое вращение, а бесконечно малое преобразование Лоренца, действующее на четырехмерный вектор в касательном пространстве пространственно-временного многообразия, поэтому картина становится значительно более запутанной и сложной. Но основная идея точно такая же.

Тензоры кривизны позволяют нам вычислять измеримые величины, такие как сумма углов в треугольниках (сумма которых составляет менее половины оборота в пространстве с отрицательной кривизной) и объемы, заключенные в сферы с заданной площадью поверхности/радиусом (которые отличаются от своих евклидовых значений на суммы, которые становятся больше по мере того, как кривизна / гравитация сильнее).

В ОТО, если вы хотите мыслить интуитивно, вам нужно делать это в чисто экспериментальных/измерительных терминах: чему будет равна сумма углов этого треугольника, какую площадь поверхности будет иметь эта сфера, что покажут акселерометр/часы этого наблюдателя? Существует множество графических представлений математики, описывающей общую теорию относительности. Одна из лучших книг в этом отношении, на мой взгляд, это:

Мизнер, Торн и Уилер, «Гравитация»

Здесь огромное количество картинок, все любовно и кропотливо нарисованы, по разным концепциям.

Пространство-время четырехмерно (три пространственных измерения и время), а значит, и гравитация (полученная из метрического тензора пространства-времени) также четырехмерна, и мы просто не можем визуализировать четырехмерные пространства (тем более пространство-время!), поэтому лучшее, что вы можете сделать, это либо

• 3 пространственных измерения (или видео с временным разделением, чтобы вы могли увидеть, как гравитация меняется в зависимости от времени)

• или 2 пространственных и 1 временное измерение. (Диаграммы пространства-времени - хотя обычно они рисуются в 2D)

Хизер предоставила несколько превосходных изображений трехмерного пространственного пространства (времени).

Надеюсь, это поможет!

Да, мне тоже никогда не нравилась визуализация с 2D-плоскостью и шаром. Это даже не частично верно. Я думаю, что невозможно визуализировать математические и физические эффекты, потому что их математическая формулировка настолько сложна, что у вас никогда не будет 100% точной визуализации.

Но, возможно, эта картина параллельного переноса вектора на многообразии делает математику, стоящую за ней, более ощутимой.

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport#/media/File:Parallel_Transport.svg