Вложение частиц в поля

Вигнеровская классификация представлений частиц важна , но не единственная вещь, необходимая для (квантовой) теории поля. В частности, вы не можете ожидать, что поля преобразуются в одно из представлений Вигнера:

Классическое поле $\phi$преобразование под любую группу$G$дается как часть$G$-эквивариантное векторное расслоение над пространством-временем$\Sigma$, или, что то же самое,$G$-эквивариантная карта$\phi : \Sigma \to V_\rho$где$V_\rho$некоторое пространство представления$G$с представительством$\rho$и$\phi(\Lambda x) = \rho(\Lambda)\phi(x)$.

Определение поля, принимающего значения в векторном пространстве, ограничивает его преобразование в конечномерное представление, поэтому оно не может быть одной из вигнеровских частиц. Важно, что хотя поля содержат операторы рождения и уничтожения частиц в их разложении по модам, сами они не трансформируются подобно частицам. Правильное унитарное представление должно быть в гильбертовом пространстве КТП, а не в полях.

Нам нужно поле, потому что оно кодирует динамику теории - КТП нужна карта между входным и выходным состояниями, заданная S-матрицей, которая получается из действия поля через интеграл по путям (или формализм LSZ, или любой другой подход). вам удобнее). Одного знания пространств Фока (по классификации Вигнера) для этого недостаточно.

Свободная теория, по сути, дает карту эволюции времени входа/выхода как идентичность — состояния просто остаются прежними, они вообще не взаимодействуют. В этом смысле вы можете дать свободную теорию, просто указав фоковские пространства. Вам могут быть интересны аксиоматические формулировки КТП, например, аксиомы Вайтмана , где мы явно начинаем с унитарных представлений Лоренца + динамика, закодированная в квантовых полях, и явно требуется, чтобы преобразование поля как оператора на унитарном повторений точно задается эквивариантным преобразованием$\phi(\Lambda x) = \rho(\Lambda)\phi(x) = U(\Lambda)\phi(x)U(\Lambda)^\dagger$. Даже если вы дадите динамику как свободную/тривиальную, вам все равно нужно поле для их кодирования.