Вместо искривления пространства-времени может ли гравитация быть представлена ​​локально меняющимися темпами времени?

Нет. Предложения такого рода могут «управлять» не более чем одним независимым компонентом тензора кривизны Римана (через параметр скорости), и мы обычно встречаем метрики в теории гравитации, которые имеют чисто пространственную кривизну, а также временные компоненты тензора кривизны.

Возьмем, к примеру, метрику FLRW , для которой:

$$\begin{array}{lcl}R_{tt}& =& - 3 \frac{\ddot{a}}{a}\\ R_{rr} &=&\frac{c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k}{1 - kr^2}\\ R_{\theta\theta} &=& r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\\ R_{\phi\phi} &=&r^2(c^{-2}(a(t)\ddot{a}(t) + 2\dot{a}^2(t)) + 2k)\sin^2(\theta)\end{array}$$

где один имеет два независимых параметра, масштабный коэффициент$a(t)$(что можно было бы истолковать как «ручку управления» в предложении ОП) и пространственную кривизну. Это правда, что можно нормализовать уравнения, но у вас все еще остается три принципиально разных возможности.$k=\pm1$и$k=0$. Кроме того, можно, конечно, найти гораздо более сложные, неоднородные метрики как действительные решения уравнений поля Эйнштейна.

Прежде чем мы ответим на этот вопрос, я думаю, уместно обсудить то, что задано. Как объясняет Род, безусловно, существуют решения уравнений поля Эйнштейна, которые нельзя объяснить одним параметром. Однако вопрос в том виде, в каком он сформулирован, предполагает, что существует какой-то универсальный способ определить, как быстро проходит время. Под замедлением времени подразумевается, что собственное время на двух разных времениподобных кривых, соединяющих два события, различается. Это может произойти в пространстве-времени Минковского, где универсальная система отсчета упрощает нам жизнь, и это может произойти в искривленном пространстве-времени. С этой точки зрения вопрос, возможно, следует переформулировать так:

Можно ли реконструировать эффекты искривления пространства-времени, зная о замедлении времени на всех различных времяподобных путях? Возможно, путем введения новых динамических уравнений, которые связывают замедление времени с другими наблюдаемыми эффектами.

Если бы это было так, то можно было бы сказать, что искривление пространства-времени можно было бы полностью объяснить только с учетом замедления времени. Теперь собственное время по кривой,$\gamma$, находится интегрированием метрики по кривой

$$\Delta\tau = \int_\gamma d\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{ab}dx^adx^b},$$ где мы предполагали такие единицы, что $c = 1$и временная подпись, $(+---)$. Это в принципе позволило бы нам реконструировать первообразные компоненты метрики вдоль наших времениподобных кривых, а кривизна задается довольно длинным выражением, включающим вторые производные метрики.

Однако, как бы многообещающе это ни выглядело, тот факт, что мы можем рассматривать только времениподобные кривые, означает, что у нас нет возможности исследовать зависимость метрических компонентов от пространственноподобных или нулевых кривых (через замедление времени). Выражаясь немного более математическим языком: мы можем знать только производные метрических компонентов по времениподобным координатам, а из них только «временеподобные компоненты»: если мы выберем координаты$(t,x^1,x^2,x^3)$такой, что$x^i$($i \in \{1,2,3\}$) постоянны вдоль кривой, то

$$\Delta\tau = \int_\gamma\sqrt{g_{tt}}dt,$$ и мы можем, в принципе, реконструировать примитив $\sqrt{g_{tt}}$в отношении $t$только. И этого, конечно, недостаточно для восстановления тензора кривизны в любом пространстве-времени, даже если исследовать все возможные времениподобные координаты.

Трудно ответить на ваш вопрос для всех возможных конфигураций гравитации, но в рамках метрики Шварцшильда легко показать, что гравитация может быть представлена ​​не только как искривленное пространство-время, но, как вы и предполагаете, также как гравитационное замедление времени в плоском пространстве.

Метрика Шварцшильда является наиболее простым описанием искривления пространства-времени под действием гравитации.

$$\mathrm ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 - \frac{2GM}{c^2 r} }~\mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta ~\mathrm d\Phi^2\right)$$

Напротив, соответствующая метрика Минковского (с плоским пространством-временем) равна

$$\mathrm ds^2 = -~ c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dr^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$

где$\mathrm dt$неискривленное время и$\mathrm dr$представляет собой неискривленное радиальное смещение.

Сравнивая оба, вы обнаружите, что в метрике Шварцшильда время$\mathrm dt$умножается на константу

$$\sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}}$$ и космос $\mathrm dr$делится на одну и ту же константу. Именно этот фактор представляет собой кривизну пространства-времени. Константа — это гравитационное замедление времени. Если мы установим константу = $C$, мы можем записать метрику Шварцшильда короче следующим образом: $$\mathrm ds^2 = -~c^2 (C~\mathrm dt)^2 + {\left(\frac {\mathrm dr}{C}\right)}^2 + r^2 \left(\mathrm d\Theta^2 + \sin^2 \Theta~\mathrm d\Phi^2\right)$$ Сравнивая эту короткую форму с приведенным выше уравнением метрики Минковского, метрика Шварцшильда отличается от неизогнутой метрики Минковского только одним коэффициентом $C$что идентично гравитационному замедлению времени. Это означает, что искривленное пространство-время метрики Шварцшильда также может быть описано в терминах гравитационного замедления времени — в абсолютном, плоском пространстве!

Искривленное пространство-время и гравитационное замедление времени в плоском пространстве — две эквивалентные модели. Для последнего гравитация выражается стремлением частиц максимизировать собственное гравитационное замедление времени.

Редактировать 1: метрика Шварцшильда даже дает более простой ответ на ваш вопрос: в уравнении Шварцшильда координаты смещения dt и dr (а также dΘ и dΦ) не изогнуты! Как видите, метрика ds является результатом умножения dt на C и деления dr на C, что дает искаженную метрику. Однако слагаемые в правой части dt и dr не искажаются и не деформируются, они представляют собой плоские полярные координаты, и полярная система координат может быть транскрибирована в соответствующую декартову систему координат плоского пространства.

Редактировать 2: Ваш вопрос может иметь большое значение. Если бы то, что я показал для метрики Шварцшильда, было бы верным в целом (например, метрика Керра и т. д.), это означало бы, что гравитация может быть описана исключительно в терминах временной модуляции в плоском пространстве. Это может иметь решающее значение в связи с тем, что параметр времени в квантовой механике не является оператором, он является классическим. По моему личному мнению, здесь может существовать путь, позволяющий примирить гравитацию и квантовую механику.