Волновая функция электрона

Четырехкомпонентный спинор Дирака$\psi$образована суммированием двух двухкомпонентных спиноров Лоренца$\xi^{A},\eta^{\dot{B}}$. Уравнение Дирака представляет собой пару связанных уравнений,

$$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}\eta^{\dot{B}}=m\xi^{A}$$ $$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}=m\eta^{\dot{A}}$$ где $p^{A}_{\dot{B}}$эквивалентен релятивистскому оператору импульса $\hat{p}_{\mu}=i\partial/\partial x^{\mu}$. Спинорную форму оператора импульса можно записать так: $$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}=2i\frac{\partial}{\partial X^{\dot{B}}_{A}}$$ и эрмитов тензор $X^{\dot{A}}_{B}$эквивалентна точке пространства-времени $x^{\mu}$. Теперь попробуйте анзац плоской волны, $$\xi^{A}=u^{A}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ $$\eta^{\dot{A}}=v^{\dot{A}}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ где $u$и $v$являются постоянными спинорами. Подставляя в уравнение Дирака, $$mv^{\dot{A}}=-u^{B}K^{\dot{A}}_{B}$$ показывает, что (в данном случае) $v$спинор фиксируется выбором $u$спинор: только два из четырех компонентов спинора Дирака свободны. Волновое число находится путем подстановки последнего уравнения в уравнение Дирака, $$m^{2}v^{\dot{A}}=v^{\dot{C}}K^{\dot{A}}_{B}K^{B}_{\dot{C}}=v^{\dot{C}}k_{\mu}k^{\mu}\delta^{\dot{A}}_{\dot{C}}=v^{\dot{A}}k_{\mu}k^{\mu} \ .$$ Итак, два компонента $\eta^{\dot{A}}$фиксируются выбором $\xi^{A}$.