Связь между спинорами и антикоммутационная связь фермионов

Глядя на выражение квантованного поля Дирака

$$\psi = \sum_s \int a_s(p) u_s(p) e^{-ipx} + b_s^{\dagger}(p) v_s(p) e^{ipx} \frac{d^3 p}{(2\pi)^2\sqrt{2E}} ,$$ обнаруживается, что он содержит операторы уничтожения и создания $a_s(p)$и $b_s^{\dagger}(p)$, а также спиноры $u_s(p)$и $v_s(p)$. Антикоммутирующие свойства поля обеспечиваются операторами уничтожения и рождения, где решение уравнений Дирака обеспечивается спинорами. В результате спиноры сами по себе не дадут вам антикоммутирующих свойств.

Первый абзац, как отмечают люди в комментариях, действительно правильный.

Что касается второго, краткий ответ: нет, вы не можете сделать то же самое, но более правильное утверждение: вам не нужно делать то же самое. В рамках теории поля, в отличие от классической квантовой механики, уже учитываются многочастичные состояния. То есть построение пространства Фока (см. Второе квантование ) осуществляется путем действия операторов рождения на вакуум. Действие с операторами рождения, помеченными разными импульсами или исходящими из разных полей, приводит к состояниям, которые представляют многочастичные состояния, поэтому нет необходимости брать тензорные произведения спиноров.

Тем не менее, фермионные поля (решения уравнения Дирака) подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям (в отличие от бозонного случая, когда они становятся коммутационными соотношениями):

$$\{\psi_a(\vec{x}),\psi^\dagger_b(\vec{y}) \}\big|_{t_x=t_y} = \delta(\vec{x}-\vec{y})$$ которые индуцируют правильные коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения $a,a^\dagger$обычного модового разложения.

Таким образом, разница обоих подходов в конечном итоге заключается в том, что является фундаментальным объектом изучения при каждом описании. В квантовой механике волновые функции описывают одну частицу, в квантовой теории поля поля описывают коллективные взаимодействия частиц.

Более того, в квантовой теории поля среди других возможных симметрий теории необходимо также соблюдать симметрию Лоренца. Таким образом, любой интересный объект должен быть лоренц- инвариантным объектом. Кроме того, налагается также локальность, поэтому для операторов в рамках лагранжиана вашей теории существует требование зависимости от одной точки пространства-времени.

Можно рассмотреть двухточечную функцию или корреляционную функцию, которая на самом деле представляет интерес для КТП:

$$\langle \psi^\dagger(x) \psi(y) \rangle$$ Который просто распространитель поля $\psi$в свободной теории и рассказывает вам, как поле развивается между точками пространства-времени $x$и $y$при отсутствии взаимодействий.