Интерпретация моря Дирака VS интерпретация Фейнмана-Стюкельберга для античастиц

Я думаю, что понял это, поэтому я делюсь своими мыслями здесь в надежде, что это может помочь кому-то в будущем.

Оператор спиральности$\hat h$и его собственное значение$h$. Чтобы быть уверенным, правосторонняя спиральность означает, что спин и импульс параллельны, тогда как левосторонняя спиральность означает, что спин и импульс антипараллельны. Что касается знака$h$, это неоднозначно, как я буду обсуждать.

1. Решение уравнения Дирака с анзацем плоской волны дает два набора решений:

   $$\psi_\text{pos. energy}(x) = u(p)\text{e}^{-\text{i}p^0t+\text{i}\textbf{px}},\qquad \psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}p^0t-\text{i}\textbf{px}}$$ где первое называется «решением с положительной энергией», а второе называется «решением с отрицательной энергией». В обоих случаях,$p^0 = +\sqrt{\textbf p^2 + m^2}>0$.

2. Поскольку частица с отрицательной энергией странная, нам нужно как-то интерпретировать этот математический факт. Итак, отсюда мы сосредоточимся на этом состоянии:

   $$\psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}Et-\text{i}\textbf{px}}$$

3. Интерпретация моря Дирака ( или теория дыр) утверждает, что$\psi_\text{neg. energy}(x)$имеет энергию$E=-p^0<0$и импульс$-\textbf p$, но не наблюдается.

4. Это потому, что мы предполагаем, что все отрицательные энергетические состояния в нашей Вселенной уже заполнены. Таким образом, чтобы «наблюдать» одно из этих состояний с отрицательной энергией (которые являются независимыми решениями уравнения Дирака, поэтому они отличаются от$\psi_\text{pos. energy}(x)$!), мы должны уничтожить их из вакуума. Итак, если мы аннигилируем состояние энергии, импульса и вращения$(-p^0, -\textbf p, \textbf s)$, мы получаем состояние с$(+p^0, +\textbf p, -\textbf s)$. Это все равно, что сказать, что если мы удалим заряд в один кулон, это будет в основном то же самое, что добавить заряд минус один кулон.

5. Теперь можно поговорить о спиральности. При выборе основы для$\eta_{1,2}$, мы определили направление для его вращения. В частности, мы выбрали$(1,0)$и$(0,1)$и сказал, что это основа для$\sigma^3$. Поэтому$\eta_1=(1,0)$обозначает спин-вверх (поскольку соответствующее собственное значение$\sigma^3$является$+1$) и$\eta_2=(0,1)$означает вращение вниз (поскольку соответствующее собственное значение$\sigma^3$является$-1$). Это устанавливает, что наш спин-оператор

   $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$

6. Что касается оператора спиральности, мы должны спроецировать$\Sigma$по направлению импульса. Так как мы выбрали$p^\mu = (p^0, 0,0,p_z)^\mu$, импульс указывает на отрицательную$z$направление. (см. пункт 3). Следовательно, оператор спиральности равен

   $$\hat h = \begin{pmatrix} -\sigma^3 & 0\\0&-\sigma^3 \end{pmatrix}$$

7. В ультрарелятивистском пределе (который мы просто берем для простоты математического расчета, это верно для любой скорости),$v_1(p)$является правохиральным (только нижние компоненты) и$v_2(p)$является левохиральным (только верхние компоненты):

   $$v_1(p) = \begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2p^0}\eta_1\end{pmatrix},\qquad v_2(p) = \begin{pmatrix}\sqrt{2p^0}\eta_2\\0\end{pmatrix}$$ Теперь мы можем определить спиральность двумя способами: математически, оценивая оператор спиральности$\hat h$, или физически, задав вопрос, параллельны или антипараллельны импульс и спин.

8. Математически:$\hat h v_1(p) = -v_1(p)$, так$h=-1$. Это означает, что правая кираль имеет левую спиральность. Следующий,$\hat h v_2(p) = v_1(p)$, так$h=+1$. Это означает, что левая киральность имеет правостороннюю спиральность.

9. Физически: правохиральное состояние$v_1$имеет спин, указывающий на$+z$направление. Но его импульс$\textbf p = -p_z \hat z$. Следовательно, они антипараллельны. Опять же, правая киральность имеет левостороннюю спиральность. Далее, левокиральное состояние$v_2(p)$имеет спин, указывающий на$-z$направление. И его импульс$\textbf p = -p_z \hat z$. Поэтому они параллельны. Следовательно, левохиральная спираль имеет правостороннюю спираль.

10. К счастью, математический и физический способы получения результата совпадают.

11. Наконец, если мы действительно аннигилируем отрицательное энергетическое состояние вакуума (как обсуждалось в пункте 4), мы получим изменение знака импульса, но также и спина (что означает, что$\eta_1$будет означать вращение вниз, и$\eta_2$будет означать раскрутку). Смена знака в$p$дало бы нам дополнительный минус в операторе спиральности, а иная интерпретация спина вверх/вниз дала бы противоположные собственные значения для$\sigma^3$внутри оператора спиральности. Это означает, что обсуждаемые результаты (как математические, так и физические) не меняются: для «отрицательных энергетических решений» правохиральная означает левую спиральность, а левохиральная означает правую спиральность.

12. С другой стороны, интерпретация Фейнмана – Штюкельберга вводит понятие античастиц.

13. Мы утверждаем, что решения с отрицательной энергией на самом деле перемещаются назад во времени. Дело в том, что это предположение математически неотличимо от утверждения, что оно имеет положительную энергию и движется вперед во времени:

    $$\exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{<0} \underbrace{t}_{<0}) = \exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{>0} \underbrace{t}_{>0})$$ однако это не одно и то же состояние, вместо этого мы называем его античастицей. Вот как мы можем сохранить математическую форму$\exp(+\text{i}p^0t)$(что противоположно «обычному» фазовому множителю$\exp(-\text{i}p^0t)$), и интерпретировать это как положительную энергию, движущуюся вперед во времени, как будто ничего не произошло.

14. Античастица означает, что все «квантовые заряды» меняются местами. Итак, электрический заряд$e$будет$-e$, вращение вверх будет вращением вниз. Аналогичные вещи происходят с гиперзарядом, лептонным числом и т. д.

15. Рассмотрим снова спиральность. То, что представлено$v(p)$(= античастица) движется в$\textbf p$направлении, поэтому в нашем примере он движется в положительном$z$направление. Но, будучи античастицей,$\eta_1=(1,0)$теперь означает вращение вниз и$\eta_2=(0,1)$теперь означает раскрутку. Это следствие уже упомянутого переворота всех зарядов. Теперь мы снова можем вычислить спиральность математически и физически.

16. Математически: Поскольку мы выбрали$\eta_{1,2}$как основные состояния$\sigma^3$, спиновый оператор

    $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ и так как мы путешествуем в позитиве$z$направление, оператор спиральности есть $$\hat h = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ Поэтому,$\hat h v_1(p) = v_1(p)$, так$h=+1$. Это похоже на правостороннюю спиральность, но для античастиц мы должны приписать$h=\pm 1$иначе. В частности,$h=+1$теперь означает левостороннюю спиральность. Сходным образом,$\hat h v_2(p) = -v_2(p)$, так что $h=-1, что теперь означает правостороннюю спиральность.

17. Физически: правохиральное состояние$v_1$имеет спин, указывающий на$-z$направление. Его импульс$\textbf p = +p_z \hat z$. Следовательно, они антипараллельны. Итак, правохиральная спираль имеет левую спираль. Далее, левокиральное состояние$v_2(p)$имеет спин, указывающий на$+z$направление. И его импульс$\textbf p = +p_z \hat z$. Поэтому они параллельны. Следовательно, левохиральная спираль имеет правостороннюю спираль.

18. И интерпретация моря Дирака, и интерпретация Фейнмана – Штюкельберга приводят к одному и тому же результату относительно спиральности. Для полноты следует упомянуть, что в настоящее время предпочтительным способом мышления является интерпретация Фейнмана-Стюкельберга.

Эти ответы были действительно полезны: раз , два , три ; а также учебники QFT от Peskin & Schroeder, Lancaster & Blundell, Ohlsson и Thomson.