Значение индексов L,RL,RL,R для двухкомпонентных спиноров Вейля ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}

Для спинора Дирака ψ , его киральные проекции равны ψ л , р определяются как

(1) ψ р , л "=" 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) ψ .
Работа с оператором хиральности γ 5 , мы нашли
(2) γ 5 ψ л "=" − ψ л ,     γ 5 ψ р "=" + ψ р .
Вот почему ψ л и ψ р соответственно известны как левая и правая киральные проекции ψ . Следует подчеркнуть, что ψ л и ψ р не являются двухкомпонентными спинорами; ψ л ( ψ р ) по-прежнему являются 4-компонентными спинорами с двумя нижними (верхними) элементами равными нулю и двумя верхними (нижними) элементами ненулевыми. Позволять
(3) ψ л "=" ( х 0 ) ,     ψ р "=" ( 0 ζ ) ,
где х и ζ являются двухкомпонентными спинорами, называемыми спинорами Вейля. Но иногда люди используют запутанные обозначения, ф л для х и ф р для ζ т.е.,
(4) ψ л "=" ( ф л 0 ) ,     ψ р "=" ( 0 ф р ) .
Например, см. уравнение (8.71) здесь .

Поскольку проекционные операторы киральности 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) являются 4 × 4 матрицы, они могут действовать только на ψ проецировать ψ л и ψ р . Однако обозначение ф л и ф р , для двухкомпонентных спиноров х и ζ соответственно, предполагает, что существует также понятие 2 × 2 киральный оператор. Если такого оператора нет, в чем смысл ф л и ф р ?

Я не уверен, что вы спрашиваете. Вы знаете, что есть два вида спиноров Вейля? Что вы называете х и ζ являются двумя разными объектами, поскольку они по-разному трансформируются под действием Лоренца.
@FrodCube Я говорю, что иногда обозначения ф л используется для х и ф р используется для ζ оба из которых являются двухкомпонентными объектами. Смотрите ссылку, которую я привел. Но обозначение л , р имеет смысл только для ψ л и ψ л которые являются 4-компонентными объектами. Киральные проекции могут быть взяты только для 4-компонентного объекта, потому что оператор проекции киральности является 4 × 4 матрица. Обратите внимание, что ψ л , р определяются из ψ в 1). Но вы не можете определить ф л , р аналогичным образом.
В этом-то и дело. Неправда, что «левое» и «правое» определяются только на 4-спинорах. Существует два различных типа спиноров Вейля с двумя разными хиральными характеристиками.
@FrodCube Как вы определите хиральность для двухкомпонентных спиноров? Что 2 × 2 хиральный оператор? Вы можете определить только оператор спиральности о ⋅ п , и покажите, что ф л и ф р являются собственными состояниями спиральности с собственными значениями ∓ 1.
В базисе Вейля киральные проекторы представляют собой разреженные блочные матрицы, поэтому киральные проекторы разделяются на блоки 1-2 и 3-4 соответственно.

Ответы (1)

Важно различать саму алгебру Клиффорда и матричное представление алгебры Клиффорда. Сама алгебра Клиффорда представляет собой абстрактную ассоциативную алгебру, порожденную базисными векторами е 0 , е 1 , е 2 , е 3 удовлетворяющий е а е б + е б е а "=" 2 η а б . Матрицы Дирака обеспечивают матричное представление алгебры Клиффорда, γ : е а ↦ γ а , что является точным в том смысле, что различные элементы алгебры Клиффорда представлены различными матрицами. В четырехмерном пространстве-времени наименьшие матрицы, способные достичь такого результата, имеют размер 4 × 4 .

Спинор Дирака — это вещь, на которую действует это точное матричное представление всей алгебры Клиффорда.

Четная часть алгебры Клиффорда порождается произведениями е а е б . Это собственная подалгебра полной алгебры Клиффорда. При ограничении этой подалгеброй матричное представление Дирака приводимо: с использованием проекционных матриц ( 1 ± γ 5 ) / 2 , мы можем расщепить спинор Дирака ψ на две части ψ л / р которые не смешиваются друг с другом под действием четной части этого представления алгебры Клиффорда.

Вообще не ссылаясь на спиноры Дирака, спиноры Вейля (также известные как киральные спиноры) могут быть определены непосредственно как вещи, которые преобразуются в соответствии с неприводимым представлением четной части алгебры Клиффорда. Имеются два неэквивалентных (взаимно сопряженных) представления четной части, которые часто отличаются друг от друга нижними индексами л / р независимо от того, были ли они построены с применением ( 1 ± γ 5 ) / 2 к спинору Дирака.

Когда спиноры Вейля определяются непосредственно таким образом, оператор киральности по-прежнему определен: он по-прежнему (пропорционален) матричному представлению е 0 е 1 е 2 е 3 . Однако неприводимое представление четной части алгебры Клиффорда неверно : матрица, представляющая е 0 е 1 е 2 е 3 пропорциональна единичной матрице. Два неэквивалентных представления отличаются друг от друга знаком матрицы, которая представляет е 0 е 1 е 2 е 3 . Таким образом, оператор киральности по-прежнему определен, но он просто умножает спинор Вейля на + 1 или − 1 , в зависимости от того, какое из двух неэквивалентных представлений используется.

Значение индексов L,RL,RL,R для двухкомпонентных спиноров Вейля ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v