Вопрос о γγ\гамма-матрице более высокого ранга

Я читал, что более высокий ранг γ матрицы могут быть записаны как альтернативные коммутаторы и антикоммутаторы. Например, гамма-матрица ранга 3 может быть записана как

(1) γ 123 "=" 1 2 { γ 1 , γ 23 } ,
где
(2) γ 23 "=" 1 2 [ γ 2 , γ 3 ] .
Теперь, если мы подставим (2) в (1), мы получим четыре члена и общий коэффициент 1/2. Несмотря на это, если мы возьмем перестановки 1,2,3, мы получим 6 элементов, а именно симметричный 123 , 312 , 231 и антисимметричный 132 , 321 , 213 . Таким образом, у нас есть 6 элементов, и мы должны иметь общий коэффициент 1 / 3 ! "=" 1 / 6 .

Мой вопрос: есть ли какая-то ошибка в определении (1)?

PS Обратите внимание, что γ 1 … г "=" γ [ 1 γ 2 … γ г ]

Вы про п.41 Супергравитации? (Фридман-Ван Пройен)
да! это именно то, о чем я говорю

Ответы (2)

Определение (обратите внимание, чтобы не путать общий тензор с компонентами тензора) антисимметричного гамма-тензора:

γ мю 1 мю 2 … мю р "=" γ [ мю 1 мю 2 … мю р ]

За высший ранг, который у вас есть р "=" Д , поэтому вы должны использовать все возможные индексы. Например, в компонентах у вас есть идентификатор:

γ 1 2 3 "=" 1 3 ! ( γ 1 2 3 − γ 132 − γ 21 3 + γ 231 − γ 321 + γ 312 )

это верно, используя антикоммутативность гамма-матриц и тот факт, что в компонентах γ 1 2 3 "=" γ 1 γ 2 γ 3 . Используя это рассуждение, вы можете показать, что ваше выражение (1) верно. (у вас есть два множителя 1/2, поэтому всего 1/4 и четыре члена)

Более явно:

γ 123 "=" 1 2 { γ 1 , γ 23 } "=" 1 2 ( γ 1 γ 23 + γ 23 γ 1 ) "=" 1 4 ( γ 1 γ 2 γ 3 − γ 1 γ 3 γ 2 + γ 2 γ 3 γ 1 − γ 3 γ 2 γ 1 ) "=" γ 1 γ 2 γ 3 "=" γ 123

Конечно, я согласен с тем, что вы говорите. Но если вы расширите (1), вы получите 4 термина. Два, которые имеют γ 1 в начале и два, которые имеют его в конце. Мне все еще не хватает двух терминов, которые стоят посередине.
Хорошо, я вижу, что я делал неправильно. Большое спасибо @Rexcirus. Как глупо с моей стороны!
Не волнуйся! Это может случиться с каждым! XD

Может я что-то упускаю, но в вашем экв. (2) в правой части два равных члена, и множитель равен 1/2, чтобы принять это во внимание. В вашем уравнении (1) также есть два равных члена в правой части, и коэффициент равен 1/2, чтобы принять это во внимание. В ваших формулах нет суммирования по всем перестановкам.

Какие равные условия? γ 2 γ 3 ≠ γ 3 γ 2
@Марион: γ 2 γ 3 "=" − γ 3 γ 2
Конечно, я знаю это.
@Marion: Тогда в чем проблема? Антикоммутатор в (2) включает эти два равных члена.
Я бы забыл использовать этот факт и попытался бы полностью расширить весь 3-ранговый тензор. Это действительно просто, хотя на самом деле.
Вопрос о γγ\гамма-матрице более высокого ранга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v