Какое спинорное поле соответствует движущемуся вперед позитрону?

Спиноры Дирака вызывают ярость, потому что существует около четырех тонко различающихся способов определения таких фраз, как «направление движения спинора» или «сопряжение заряда спинора». Любые два разных источника гарантированно будут полностью несовместимы, и все источники, кроме лучших, будут несовместимы сами с собой. Здесь я попытаюсь разрешить крошечный кусочек этой путаницы. Подробнее см. в моем ответе о зарядовом сопряжении спиноров .

Классическая теория поля

Начнем с классической механики. Мы рассматриваем плоские волновые решения классических уравнений поля, которые обычно имеют вид

$$\alpha(k) e^{-i k \cdot x}$$ где$\alpha(k)$является поляризацией, например вектором для фотонного поля и спинором для поля Дирака. Импульс классического поля есть его нётеровский заряд при переносах, поэтому в общем случае $$\text{a plane wave proportional to } e^{-ik \cdot x} \text{ has momentum proportional to } k$$ Теперь обратимся к решениям в виде плоских волн для поля Дирака. $$\sum_{p, s} u^s(p) e^{-i p \cdot x} + v^s(p) e^{i p \cdot x}.$$ По сравнению с тем, что мы только что нашли, мы заключаем $$\text{classical plane wave spinors with polarization } \begin{cases} u^s(p) \\ v^s(p) \end{cases} \text{ have momentum } \begin{cases} p \\ -p. \end{cases}$$ То есть для спиноров Дирака параметр$p$не соответствует импульсу решения классической плоской волны. Однако это ничего не говорит нам о том, как движется волновой пакет, потому что плоские волны вообще не движутся. Вместо этого нам нужно посмотреть на групповую скорость $$\mathbf{v}_g = \frac{d \omega}{d \mathbf{k}}$$ волнового пакета. Для решений с отрицательной частотой оба $\omega$и$\mathbf{k}$перевернули знак, так что $$\text{wavepackets built around } u^s(p) \text{ and } v^s(p) \text{ both move along } \mathbf{p}.$$ Я думаю, что это лучший способ определить направление движения в классическом смысле. (В некоторых источниках вместо этого говорится, что$v^s(p)$движется вдоль$- \mathbf{p}$но назад во времени, но я думаю, что это не полезно.)

Квантовая теория поля

Когда мы переходим к квантовой теории поля, мы сталкиваемся с большим количеством переворотов знака. Напомним, что в квантовой теории поля решение плоской волны$\alpha(k) e^{-i k \cdot x}$квантуется на частицы. Чтобы построить гильбертово пространство, мы начнем с состояния вакуума и постулируем оператор рождения$a_{\alpha, k}^\dagger$для каждого режима.

Если мы делаем это наивно для спинора Дирака, повышающий оператор для моды с отрицательной частотой создает частицу с отрицательной энергией. Это плохо, так как вакуум считается состоянием с наименьшей энергией. Но исключение Паули спасает нас: вместо этого мы можем переопределить вакуум так, чтобы все моды с отрицательной частотой были заполнены, и определить оператор создания для такой моды, который мы ранее назвали оператором уничтожения. Это картина моря Дирака. Затем

$$\text{particles made by the creation operators for } u_s(p) e^{-ip \cdot x}, v_s(p) e^{ip \cdot x} \text{ have momentum } p.$$ Причем обе эти частицы движутся по направлению своего импульса$\mathbf{p}$. Все остальные квантовые числа для$v$частицы переворачиваются по сравнению с тем, что вы ожидаете классически, например, спином и зарядом, но направление движения остается прежним, потому что квантовая скорость$\hat{\mathbf{v}}_g = d \hat{E} / d \hat{\mathbf{p}}$остается такой же.

Резюме

Подводя итог, я быстро оценю ваши аргументы.

1. Ваш первый аргумент неверен. Импульс не соответствует направлению распространения. Вы знаете это из физики второго курса: пробка — это пример волны, которая движется назад, но имеет положительный импульс.
2. Ваш второй расчет верен,$v^s(p)$действительно имеет импульс$-p$.
3. Классический спинор движется в том же направлении, что и квантовая частица; так и должно быть, если мы можем взять классический предел. В обоих случаях классический/квантовый спинор движется вдоль$\mathbf{p}$.
4. Действительно, вращение вверх и вниз заменяется аргументом неявной теории дырки, наряду со всем остальным.
5. Тонг вообще отличный источник, но тут он накосячил. Я написал Тонгу по электронной почте, и он согласился и исправил это в последней версии заметок.

Другие источники могут отличаться от того, что сказано здесь, из-за метрического соглашения, соглашения гамма-матрицы или из-за того, что они считают некоторое подмножество объектов «движущимся назад во времени».

На самом деле, я также много боролся с пониманием «позитронных» решений.$v(p)e^{ipx}$уравнения Дирака, но я думаю, теперь я понял это. Соглашусь и с тем, что большинство литературных источников не вносят ясности в возможные путаницы темы, в своих формулировках зачастую недостаточно точны, что в итоге приводит к множеству знаков вопроса. Например, как я покажу в конце, Тонг не совсем не прав, он просто забыл добавить встречный член в гамильтониан уравнения Дирака, чтобы сделать его правильным.

Прежде всего, следует подчеркнуть, что оба решения уравнения Дирака могут быть полностью поняты только в рамках вторичного квантования. В этой структуре полевой оператор$\psi(x)$и его аналог$\psi^\dagger(x)$определяются следующим образом:

$\psi(x) = \Sigma_{p,s} ( a_{p,s} u(p)e^{-ipx} + b^\dagger_{p,s} v(p)e^{ipx})$

Очень важно понять из этой формулы, что к так называемому «позитронному решению» присоединен оператор рождения, в отличие от нормального решения, к которому присоединен оператор уничтожения.

Это означает, что «позитронный» раствор не является еще одним дополнительным раствором, он обладает свойством, которое действительно отличает его от электронного решения. Глядя на$\psi^\dagger(x)$мы лучше видим:

$\psi^\dagger(x) = \Sigma_{p,s} ( b_{p,s} v^\dagger(p)e^{-ipx} + a^\dagger_{p,s}u^\dagger(p)e^{ipx})$

Собственно, в рассеянии$u(p)e^{-ipx}$описывает входящую частицу, тогда как можно было бы$v(p)e^{ipx}$ассоциируется с описанием вылетающей частицы.

Так же, как мы бы связали$v^\dagger(p)e^{-ipx}$с входящей частицей и$u^\dagger(p)e^{ipx}$с вылетающей частицей. Таким образом, мы можем интерпретировать это$v^\dagger(p)e^{-ipx}$на самом деле является входящим позитроном, который нужно аннигилировать, который нужно сравнить с$u(p)e^{-ipx}$поскольку это входящий электронный раствор, который также подлежит аннигиляции. Для полноты аналогии проверим энергию и импульс этого решения$v^\dagger(p)e^{-ipx}$действуя 1-частичными операторами$P$и$H$на нем и получить положительные значения.

Но что такое$v(p)e^{ipx}$затем ? Это описание исходящего «позитрона». Однако в (обычно нерелятивистских) матричных элементах рассеяния, таких как$\psi^*V\psi$такое выражение обозначается как$\psi^*$на котором обычно операторы$P$и$H$не применяются с левой стороны, если это сделать, несмотря на то, что можно не удивляться неожиданным результатам, таким как$(-{\bf p},-E)$как собственные значения. Последние 2 абзаца в основном служат интуитивным объяснением, более строгое объяснение см. в КТП-формализме, к которому я сейчас подхожу.

Но формализм 2. квантования (или просто КТП-формализм) описывает это элегантно, ставя оператор рождения в качестве коэффициента$v(p)e^{ipx}$(а не оператор уничтожения) и оператор не обязан совершать действие$P$или$H$на$\psi^*$что на самом деле очень неудобно.

КТП-формализм может на самом деле больше: оператор импульса$P$состоит из полевых операторов:

$P = \int d^3x\, \psi^\dagger (-i {\bf\nabla})\psi =\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \sum_s {\bf p} \left(a^\dagger_{p,s} a_{p,s} + b^\dagger_{p,s} b_{p,s}\right)$

Если он применяется к состоянию 1-античастицы (позитрона)$\overline{|{\bf p}>}$(черта над состоянием должна обозначать его как состояние античастицы) получаем$+{\bf p}$как собственное значение. Таким образом, импульс состояния позитрона положителен. Конечно, мы можем применить его к состоянию 1 частицы.$|{\bf p}>$а также получить$+{\bf p}$как собственное значение.

То же самое можно сделать с оператором Гамильтона:$H=\int d^3x\, \psi^\dagger (i \frac{\partial}{\partial t})\psi + 4E_0 V =\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \sum_s E_p \left(a^\dagger_{p,s} a_{p,s} + b^\dagger_{p,s} b_{p,s}\right)$.

И почему вы получили отрицательный результат? Потому что в выражении Тонга был забыт встречный термин (кроме других аспектов, объясненных ниже).

Чтобы получить выражение, содержащее операторы рождения и уничтожения, необходимо применить антикоммутаторные правила для фермионов, которые приводят к отрицательной нулевой энергии, которая должна быть компенсирована встречным членом$4E_0 V$где$E_0= \frac{1}{2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_p$и$V=\int d^3 x\,\,$.

(Эти манипуляции и этот формализм очень хорошо описаны в книгах по КТП, поэтому я не буду давать здесь более длинных объяснений). Так что Тонг не так уж и неправ, но, может быть, он не особо подчеркивал, что$\psi$'песок$\psi^\dagger$должны быть полевыми операторами, а не решениями с 1 частицей (и он забыл встречный термин). При применении соответствующих (анти)-коммутаторных правил правильный результат получается почти автоматически.

Напомним: общее правило, которое следует иметь в виду, состоит в том, что любой результат, который должен быть получен в релятивистской КМ или КТП, должен быть получен с операторами поля (а НЕ с одночастичными решениями) и применением соответствующих (анти)-коммутаторных правил. .

Второй важный аспект, о котором следует помнить, заключается в том, что$v(p)e^{ipx}$на самом деле описывает не «стандартный», т.е. входящий позитрон, а выходящий позитрон, что объясняет пару его «неудобных» свойств. Однако,$v^\dagger(p)e^{-ipx}$описывает входящий, т.е. вид "нормального" позитрона.
Если вам это не нравится, вы все равно можете интерпретировать исходящий позитрон.$v(p)e^{ipx}$как входящий электрон с$(-{\bf p},-E)$бег назад во времени.