Как каноническое квантование работает с переменными Грассмана?

Каждый учебник по квантовой теории поля, с которым я сталкивался, кажется, имеет одинаковую логическую оплошность из-за определенного порядка, в котором они освещают темы.

Во-первых, книги знакомят с лагранжианом Дирака,

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m) \psi.$$ Для вычисления канонического импульса заметим, что $$\mathcal{L} \supset \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_0 \gamma^0 \psi) = i \psi^\dagger \dot{\psi}$$ в основном негативная подпись. Следовательно, канонический импульс равен $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = i \psi^\dagger.$$ Затем выполняется каноническое квантование.

Позже в книгах вводится майорановский лагранжиан, который у Пескина и Шредера (задача 3.4) имеет вид

$$\mathcal{L} = \chi^\dagger i \bar{\sigma} \cdot \partial \chi + \frac{im}{2} (\chi^T \sigma^2 \chi - \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*).$$ Майорановский массовый член обращается в нуль на классическом уровне, потому что$\sigma^2$является антисимметричной матрицей. Единственный выход — постулировать, что двухкомпонентный спинор$\chi$действительно является переменной Грассмана, так что два члена в массовом члене имеют один и тот же знак после антикоммутации. Обычно утверждается, что вообще каждый спинор в классическом лагранжиане должен быть числом Грассмана.

Однако это противоречит более ранней трактовке лагранжиана Дирака. Если мы относимся$\psi$как число Грассмана, то мы получаем знак при антикоммутации производной Грассмана, поэтому

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} (i \psi^\dagger \dot{\psi}) = - i \psi^\dagger \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi} = - i \psi^\dagger.$$ Этот лишний отрицательный знак полностью меняет результат канонического квантования, например, приводит к катастрофической отрицательной определенной энергии. Похоже, та же проблема возникает в задаче 3.4 Пескина. Если правильно учесть переворот знака Грассмана при каноническом квантовании, то придут к антикоммутационным соотношениям, противоположным приведенным в задаче.

Я просмотрел стопку учебников по квантовой теории поля, и, к сожалению, ни в одном из них даже не упоминается это очевидное несоответствие, потому что все они охватывают майорановский лагранжиан (и числа Грассмана) после того, как закончили лагранжиан Дирака, так что нет возможность поднять этот вопрос. Можно было бы избежать этой проблемы, сказав, что числа Грассмана появляются только в интеграле по траекториям, но тогда становится невозможным канонически квантовать теорию Майораны, потому что массовый член исчезает, что кажется еще хуже. Что тут происходит?