Вопрос о внешних производных

Я знаю от Кэрролла, что интеграция в ОТО — это, по сути, отображение n-формы в действительное число. И это дано

г н Икс "=" г Икс 0 ∧ … ∧ г Икс н − 1 "=" 1 н ! ϵ мю 1 … мю н г Икс мю 1 … г Икс мю н

Теперь у меня есть выражение, заданное в сферической системе координат, где я

∫ Σ ф ( θ , ф ) г θ ∧ г ф

когда я хочу интегрировать это (часть эпсилон уже вычислена), у меня просто есть ∫ ∫ г θ г ф интегрировать, или нужно поставить деталь от интегрирования в сферическую систему координат ∫ ∫ грех ⁡ θ г θ г ф ?

Раньше я не занимался интеграцией с формами, поэтому любая помощь приветствуется :)

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Из статьи у меня:

к ξ [ час , г ¯ ] "=" к ξ [ ν мю ] [ час , г ¯ ] ( г н − 2 Икс ) ν мю

( г н − п Икс ) мю 1 … мю п "=" 1 п ! ( н − п ) ! ϵ мю 1 … мю н г Икс мю п + 1 … г Икс мю н

к ξ [ ν мю ] [ час , г ¯ ] "=" − − г ¯ 16 π …

где … является выражением. Означает ли это, что, поскольку у меня есть н − 2 формы и я в 4-х мерном пространстве, мне нужно включить это грех ⁡ θ после всего?

EDIT2: мне нужно добавить грех ⁡ θ . Я понял. Спасибо

Ответы (1)

Записанный вами интеграл будет просто вычисляться следующим образом:

∫ Σ ф г θ ∧ г ф "=" ∫ 0 2 π г ф ∫ 0 π г θ ф ( θ , ф )
Вы просто «стираете клин». Дополнительный фактор грех ⁡ θ включен, если вы интегрируете 2-форму ю пропорциональна форме объема;
ю "=" ф ϵ
Здесь ϵ – стандартная объемная форма на сфере;
ϵ "=" | дет ( г я Дж ) | г θ ∧ г ф "=" грех ⁡ θ г θ ∧ г ф , ( г я Дж ) "=" г я а г ( 1 , грех 2 ⁡ θ )
Так, например, у нас было бы
∫ Σ ю "=" ∫ Σ ф ϵ "=" ∫ Σ ф грех ⁡ θ г θ ∧ г ф "=" ∫ 0 2 π г ф ∫ 0 π г θ грех ⁡ θ ф ( θ , ф )

Я добавлю редактирование в свой вопрос, так как уравнения не будут хорошими в комментарии: \
Мне нужно добавить это, я понял, немного посмотрев: D Спасибо :)
Вопрос о внешних производных
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v