Вопрос про форму убийства в Георги

Я пытаюсь понять форму Убийства, описанную на странице 49 в книге Говарда Джорджи. Он начинает с того, что определяет внутренний продукт между двумя образующими Т а и Т б в присоединенном представлении следующим образом:

Т р ( Т а Т б )
а затем впоследствии он говорит, что это настоящая симметричная матрица. Я не уверен, почему это так, потому что трассировка будет просто числом? Сначала я подумал, что это может быть просто небольшая ошибка.

Однако он выводит, что линейное преобразование образующих Икс а (в произвольном представлении):

Икс а → Икс а ′ "=" л а б Икс б
приводит к следующему преобразованию:
Т р ( Т а Т б ) → Т р ( Т а ′ Т б ′ ) "=" л а с л б г Т р ( Т с Т г )
И затем он заявляет, что мы можем диагонализовать след, выбрав соответствующий л так что мы можем написать (после отбрасывания простых чисел):
Т р ( Т а Т б ) "=" к а дельта а б
Я действительно не понимаю, откуда взялось это уравнение. Я никогда не слышал о диагонализации трассы (потому что это число, а не матрица) и не нашел ничего полезного в гугле. Любая помощь с моей проблемой будет высоко оценена.

С наилучшими пожеланиями,

Комментарий к вопросу (v1): Георгий говорит, что М "=" ( М а б ) 1 ≤ а , б ≤ н — вещественная симметричная матрица с матричными элементами М а б "=" Т р ( Т а Т б ) е р .
Ок спасибо! Я не понимаю, как вы поняли это из того, что он пишет, но в этом есть смысл.

Ответы (1)

Здесь мы просто рассматриваем алгебру Ли соответствующей группы Ли исключительно как векторное пространство и выполняем линейные преобразования в этом линейном пространстве. С Тр ⁡ ( Икс Д ) "=" Тр ⁡ ( Д Икс ) в общем случае верно, матрица следа симметрична. л а , б подобны обобщенным вращениям и, пока они имеют невырожденные матрицы, сохраняют всю информацию алгебры Ли.

Некоторые комментарии Георгия я не считаю общими. Форма, которую он определяет, является формой Киллинга в присоединенном представлении и не всегда является внутренним продуктом. Он предполагает, что рассматриваемая группа (i) имеет конечный центр и (ii) компактна, поскольку мы имеем следующую замечательную теорему:

Учитывая, что группа Ли имеет конечный центр, форма Киллинга на групповой алгебре Ли отрицательно определена тогда и только тогда, когда группа компактна.

Хороший справочник по этому вопросу: S. Helgason «Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства», гл. II, раздел 6, подп. 6.6.

Мне нравится эта теорема — если подумать, она действительно довольно спеша — говорит нам, как она что-то делает о глобальных свойствах группы из информации, закодированной локально (в алгебре Ли).

Таким образом, форма Киллинга — это отрицание скалярного произведения для компактных групп с конечными центрами. Когда у нас есть скалярный продукт, мы, конечно, можем определить ортогональность, ортонормированность и унитарные преобразования алгебры Ли. Хотя я не видел этого раньше, именно так можно осуществить диагонализацию, о которой вы говорите. Когда у вас есть внутренний продукт, можно проработать процедуру Грамма-Шмидта, и именно так вы л а , б собираются выводить.

Для унитарных групп (с которыми, я подозреваю, имеет дело Георгий — мы говорим здесь о профессоре SU(5) / SO(10)!), отрицание формы Киллинга еще более очевидно как внутренний продукт:

⟨ Икс , Д ⟩ "=" Тр ⁡ ( Икс † Д ) "=" − Тр ⁡ ( Икс Д )

потому что, конечно, члены алгебры Ли косоэрмитовы.

Спасибо за ваш ответ. У меня есть еще один вопрос. Знаете ли вы, почему мы можем определить только внутренний продукт (т.е. форму Киллинга) для генераторов в присоединенном представлении? Мне кажется, что след образующих удовлетворяет условиям скалярного произведения в любом произвольном представлении образующих.
@Hunter Хороший вопрос. Позвольте мне подумать об этом. Я думаю, что вы можете определить внутренний продукт, как вы говорите, в любом представлении (например, для унитарных групп), просто если это не в присоединенном представлении, свойства этой билинейной формы не имеют особого значения, как теорема Хельгасона. Другой вариант: группа полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена. Я почти уверен, что это причина, по которой никто не говорит о формах убийства в других представителях, но все же может быть причина для определения внутреннего продукта (например, для определения метрики).
@Hunter Конечно - глупый я (я был обезоружен ясностью твоего мыслительного меча! - ой!) - есть и другая причина, по которой также нужно, чтобы представление алгебры Ли было точным, чтобы передать максимально возможную информацию о основная группа Ли. Мое предубеждение в мышлении состоит в том, чтобы использовать алгебру для изучения группы Ли, поэтому я думал только о форме Киллинга в образе присоединенного повторения, но, конечно, обычно есть более общие причины использовать другие, неверные повторения. Более того, даже присоединенный представитель не является верным группе, если последняя имеет недискретный центр
Спасибо за ваш ответ. Мне придется еще подумать над вашими ответами. Я думаю, что ваш уровень понимания намного лучше моего, поэтому я не уверен, что полностью вас понимаю. В любом случае, всегда хорошо, когда тебя подталкивают к лучшему пониманию такой важной темы ;). Если у меня возникнут дополнительные вопросы, я обязательно задам их здесь, на этом форуме.
@Hunter Мне жаль, что вы не совсем меня понимаете, но я думаю, что знаю, что вы имеете в виду - не стесняйтесь задавать любые вопросы здесь после того, как обдумаете эту тему (вам придется опубликовать вопрос в комментарии здесь, чтобы свяжитесь со мной или отправьте мне электронное письмо по адресу, указанному на моей странице пользователя, и мы сможем пообщаться). Очень простое применение формы Убийства в примыкающей репе С U ( 2 ) можно найти здесь - первоначальный задавший вопрос, похоже, потерял интерес к своему вопросу, но, возможно, вы сможете что-то почерпнуть из него!
Я задал вопрос об отношении изоморфизма в теории групп на Math SE, и, к сожалению, люди там не реагируют на мой вопрос. Если у вас есть свободное время, я был бы очень признателен, если бы вы могли взглянуть на него и посмотреть, согласны ли вы с моим доказательством.
Уважаемый @Hunter, извините за отсутствие ответа. Ваше доказательство выглядит в основном здравым, хотя у меня нет времени в данный момент, чтобы пройти его с острым зубом - ясно, что вы рассуждаете в фундаментальных и здравых терминах. Ответ Манолито Переса мне нравится - он самый краткий и действительно все, о чем вам нужно беспокоиться. Однако в целом следует быть осторожным с частными и произведениями: в этом случае вы начинаете с прямого произведения. г × ЧАС так все работает, но в целом г "=" К / ЧАС не подразумевает К "=" г × ЧАС а скорее то...
... полупрямой продукт актуален (основное отличие состоит в том, что полупрямой продукт между двумя группами не уникален.
Без проблем. Есть ли у вас какие-либо ресурсы/книги, в которых подробно обсуждаются эти вещи? Большинство книг (я знаю) кратко обсуждают прямое произведение и частную группу, но никогда не вдаются в подробности (и не обсуждают отношения между ними). Мне это кажется странным, потому что это так важно в теоретической физике. Также спасибо за ваш комментарий о том, что г "=" К / ЧАС не подразумевает К "=" г × ЧАС . Я действительно хочу узнать больше о. Может быть, мне следует задать его по физике SE, но я не думаю, что такой вопрос будет разрешен.
Вопрос про форму убийства в Георги
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v