Восстановление спонтанно нарушенной симметрии при высоких энергиях

Предисловие: высокие температуры вместо высоких энергий

Кажется, вы путаете слова «энергия» и «температура», когда читаете о «высокой шкале» в контексте вашего вопроса. Как отметил ACuriousMind в разделе комментариев, если вы фиксируете температуру равной нулю, то, конечно, группа симметрии EW нарушается независимо от типичных энергий процессов. Теория EW продолжает находиться в нарушенной фазе, так как значение нарушения симметрии$v$, который обозначает дублет Хиггса VEV, отличен от нуля независимо от энергий.

Однако в вопросе вы пишете о ранней Вселенной, и из этого следует, что вы говорите не о шкале энергий, а о шкале температур. Именно, мы имеем отношение время-температура из уравнения Фридмана, и вместо понятия времени для возраста Вселенной мы можем использовать понятие температуры. Вам может казаться, что вы живете во Вселенной с нулевой температурой; но ранняя Вселенная высокотемпературная. Итак, теперь ваш вопрос касается высокотемпературного восстановления электрослабой симметрии, т. е. температурной зависимости ВЭВ Хиггса.$v(T)$.

Ненулевые температуры: свободная энергия вместо обычной энергии

Когда имеешь дело с ненулевыми температурами, вступают в действие тепловые эффекты. Именно, термодинамическая система описывается минимумом, а не энергией.$E$, но большой термодинамический потенциал$G$. Эвристически это объясняется изменением структуры основного состояния и возбуждений при ненулевой температуре. (добавлено) При нулевой температуре вакуум - это состояние с нулевыми "настоящими" частицами; однако оно заполнено квантовыми полями и их «виртуальными» возбуждениями. Однако при ненулевых температурах эти возбуждения становятся реальными, и вместо состояния нулевых частиц мы имеем состояние с «термальной баней». Это, конечно, дает вклад в наблюдаемых величинах; например, это определенно меняет VEV, поскольку они зависят от определения вакуума. Такое различие делает невозможным интерпретацию КТП при конечной температуре$T$как КТП с типичными энергиями$E \sim T$процессов, как мы можем сделать с классической физикой из-за теоремы о равнораспределении. (добавлен)

В реальном случае химические потенциалы выше шкалы$1 \text{ GeV}$малы, так что$G \approx F$, куда

$$F \equiv F[\varphi ,T]$$ обозначает свободную энергию, а $\varphi$обозначает множество областей теории.

Если пространство однородно, то

$$F[\varphi , T] = \Omega V_{eff}[T, \varphi ]$$ Хиггс ВЭВ $$v(T) \equiv\langle H \rangle,$$ который ломается $SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$вплоть до $U_{EM}(1)$, поэтому является минимумом $V_{eff}[\varphi , T]$вместо $V_{eff}[\varphi , 0]$. В то время как последний дается одноконтурным эффективным действием $\Gamma = \Omega V_{eff}[\varphi , 0]$при нулевой температуре (и используется обычная КТП при нулевой температуре) первое должно быть вычислено с использованием методов КТП с ненулевой температурой.

Таким образом, возможно, что вместо$v(0) = v$при нулевой температуре получим, что при некоторой отличной от нуля температуре$T_{0}$(и на более крупных)

$$v(T_{0}) = 0,$$ что означает точное восстановление симметрии (т.е. калибровочные бозоны безмассовы точно при температурах выше $T_{0}$).

Ваш вопрос - расчет потенциала самодействия бозона Хиггса

Теперь задача состоит в том, чтобы вычислить ненулевой эффективный потенциал поля Хиггса.$V_{eff}(\varphi , T)$. Предположим, вас интересует только потенциал самодействия Хиггса VEV,$V_{eff}[v(T), T]$. Затем необходимо интегрировать другие степени свободы СМ, одновременно учитывая ненулевые температурные эффекты. Один из способов сделать это — ввести формализм Мацубары , для которого эффективный потенциал$V_{eff}[v(T), T]$(в так называемом тепловом однопетлевом приближении, когда мы просто пренебрегаем взаимодействием между дублетом Хиггса и калибровочными полями, но оставляем массовый член калибровочных полей) определяется из интеграла теплового пути как

$$\tag 1 e^{-\beta V_{eff}[v(T) , T]} = \int D[\varphi]e^{-S^{\beta}[\varphi]},$$ куда $S_{\beta}[\varphi]$тепловое действие, $$S_{\beta}[\varphi] \equiv \int \limits_{0}^{\beta}d\tau \int d^{3}\mathbf x \left( \frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F_{\mu \nu}^{a} + \frac{m^{2}(v(T))}{2}A_{\mu}^{a}A_{\mu}^{a}\right)$$ $\tau$евклидово время и $\beta$обратная температура.

Здесь я пишу только степени свободы бозона СМ, ​​так как в инфракрасной зоне, которая определяет$V_{eff}[v(T), T]$, только они актуальны. Это верно, поскольку частоты Мацубары, которые являются аналогом обычных частот Фурье (и, следовательно, энергий) для ненулевой температуры, для бозонов начинаются с нуля, а для фермионов начинаются не с нуля, и, следовательно, последние не имеют значения. Затем вам нужно интегрировать$A_{\mu}$вне.

Тот факт, что ниже такого масштаба$v(T)$может быть равно нулю, дает основание утверждать, что в СМ есть такой фазовый переход (первого-второго рода или просто кроссовер).

К сожалению, пертурбативная обработка для расчета$V_{eff}[v(T), T]$терпит неудачу. Здесь я использую «пертурбативный» в том смысле, что мы наивно ожидаем, что константа разложения для эффективного потенциала равна$\frac{v(T)}{T}$, что заведомо мало вблизи перехода. Если это так, то можно использовать одноконтурный расчет эффективного действия, что несложно. Однако возникает так называемая инфракрасная проблема: истинная константа расширения$\frac{T}{v(T)}$. Это можно показать, используя формализм Мацубары.$(1)$. Таким образом, расчет$V_{eff}[T, v(T)]$является большой проблемой. Нам нужно использовать непертурбативные методы для его оценки. Одним из мощных методов является решеточная квантовая теория поля.

Однако существует эвристический аргумент в отношении того, чего мы ожидаем от фазового перехода EW. Значение$v(T)$сам по себе не является калибровочно-инвариантным. Однако его можно дать как

$$v^{2}(T) \equiv \langle \text{vac}| H^{\dagger}H|\text{vac}\rangle$$ Однако указанную выше величину нельзя использовать в качестве параметра порядка, поскольку она инвариантна относительно всех явных преобразований симметрии в СМ. Тогда мы ожидаем, что фазы с нарушенной и ненарушенной симметрией неразличимы, а значит, фазового перехода второго рода не бывает). Моделирование решетки показывает, что это верно (т. е. фазовый переход действительно является переходом первого рода для малых масс бозона Хиггса и кроссовером для реальной массы бозона Хиггса). $m \approx 125\text{ GeV}$).