Вращающийся диск с заряженным краем между специальной и общей теорией относительности

Я начал гуглить основные результаты для вращающейся сферической оболочки и обнаружил, что кто-то опередил меня в этом самом расчете:

Электромагнитные поля вращающейся заряженной оболочки , Кирк Т. Макдональд

В статье автор вычисляет поля в инерциальной системе отсчета, а затем обеспечивает преобразование во вращающуюся систему, чтобы найти магнитное и электрическое поля, наблюдаемые в этой системе. Автор рассматривает более общий случай, когда снаряд с зарядом$Q$и радиус$a$вращается с угловой скоростью$\pmb{\omega}$, а вращающаяся рамка вращается на$\pmb{\omega}'$; случай, запрошенный ОП, просто случай$\pmb{\omega} = \pmb{\omega}'$.

Результат внутри оболочки на самом деле удивительно прост: в пределе медленных вращений магнитное поле, измеренное коротирующим наблюдателем внутри оболочки, точно такое же, как магнитное поле, измеренное инерционным наблюдателем внутри оболочки. Причина этого довольно проста: преобразование между полями для двух инерциальных систем отсчета в пределе малых скоростей равно

$$\mathbf{B}' \approx \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v}}{c} \mathbf{E}.$$ Внутри оболочки,$\mathbf{E} = 0$и так$\mathbf{B}' = \mathbf{B}$. Таким образом, если инерционный наблюдатель измеряет магнитное поле внутри оболочки, то же самое будет и с коротирующим наблюдателем.

Причина, по которой внутри оболочки все еще существует поле, даже если вращающийся наблюдатель не видит токов, заключается просто в том, что уравнения Максвелла не выполняются во вращающейся системе отсчета. В приведенной выше статье представлены уравнения Максвелла в (медленно) вращающейся системе отсчета в уравнениях. (31–34) приведенных выше заметок. В отсутствие связанных источников и в стационарном случае (как здесь) они становятся

$$\nabla \cdot \mathbf{E}' = 4 \pi \left[ \rho' - \frac{\mathbf{v}}{c^2} \cdot \mathbf{J}' + \frac{\pmb{\omega}' \cdot \mathbf{B}}{2 \pi c} \right], \\ \nabla \times \mathbf{B}' = \frac{4 \pi}{c} \left[\mathbf{J}' + \mathbf{v} \rho' + \frac{\pmb{\omega}' \times \mathbf{E}'}{4 \pi} - \frac{\omega'}{4 \pi} \frac{\partial \mathbf{E}'}{\partial \phi'}\right],$$ где$\mathbf{v} = \pmb{\omega}' \times \mathbf{r}$и$\phi'$(Два других уравнения Максвелла остаются в силе; в примечаниях$\pmb{\omega}$вместо$\pmb{\omega}'$, но я считаю, что это ошибка.) Во вращающейся рамке, в то время как$\mathbf{J}' = 0$, в магнитное поле по-прежнему вносятся вклады от других членов правой части последнего уравнения, и, таким образом, магнитное поле не обращается в нуль. (Я полагаю, что последние два члена в данном случае сокращаются, так как они соответствуют скорости изменения$\mathbf{E}$в отношении$t$; но$\rho' \mathbf{v}$термин, конечно, нет.)

Ссылки в связанной статье также могут представлять интерес; в частности, вы можете обратиться к заметкам того же автора по электродинамике во вращающихся системах отсчета , а также к следующим статьям:

• Л. И. Шифф, "Вопрос общей теории относительности", Proc. Нац. акад. науч. 25, 391 (1939)
• CT Ridgely, "Применение релятивистской электродинамики к вращающейся материальной среде", Am. Дж. Физ. 66, 114 (1998)
• CT Ridgely, "Применение ковариантных и контравариантных электромагнитных тензоров к вращающимся средам", Am. Дж. Физ. 67, 414 (1999)

Итак, я выработаю ответ для вращающегося кольца заряда радиуса$R$, которую можно описать плотностью тока:

$$\mathbf{J}=I\int_0^{2\pi} R.d\phi\,\left(\begin{array}\\-\sin\phi\\\cos\phi\\0\end{array}\right) \delta^{(3)}\left(\mathbf{r}-R\left(\begin{array}\\\cos\phi\\\sin\phi\\0\end{array}\right)\right)$$

Где$I$ток в кольце. Это для инерциального наблюдателя и в декартовых координатах. Это можно использовать в законе Био-Савара , чтобы найти магнитное поле ($\mu_0$вакуумная проницаемость):

$$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int d^3 r' \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r'}\right)\times\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}$$

Для наблюдателя (А), сидящего в плоскости XY, на расстоянии$\rho$вдали от начала координат магнитное поле будет z-поляризованным:

$$B_z\left(\rho\right)=\frac{I\mu_0}{4\pi}\int_0^{2\pi}Rd\phi.\frac{R-\rho\cos\phi}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}=\frac{I\mu_0}{4\pi R}K\left(\rho,\,R\right)$$

Где

$$K\left(\rho,\,R\right)=\int_0^{2\pi}d\phi.\frac{R^2\left(R-\rho\cos\phi\right)}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

это просто сокращение для безразмерного интеграла, который я не знаю, как вычислить (кроме как в пределе или численно).

Пусть полный заряд петли будет$Q$, пусть угловая скорость вращения$\omega$. Так$I=Q\omega/2\pi$и:

$$B_z\left(\rho\right)=\frac{Q\omega\mu_0}{8\pi^2 R}K\left(\rho,\,R\right)$$

Далее электрическое поле от кольца плотности заряда:

$$\rho=\frac{Q}{2\pi}\int^{2\pi}_0 d\phi \,\delta^{(3)}\left(\mathbf{r}-R\left(\begin{array}\\\cos\phi\\\sin\phi\\0\end{array}\right)\right)$$

Для наблюдателя$A$электрическое поле будет чисто радиальным ($\epsilon_0$диэлектрическая проницаемость вакуума):

$$E_{\rho}\left(\rho\right)=\frac{Q/2\pi}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi}d\phi. \frac{\rho-R\cos\phi}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

снова представляем:

$$S\left(\rho,R\right)=\int_0^{2\pi}d\phi. \frac{R^2\left(\rho-R\cos\phi\right)}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

электрическое поле становится

$$E_{\rho}\left(\rho\right)=\frac{Q}{8\pi^2 R^2\epsilon_0}\,S\left(\rho,R\right)$$

Теперь рассмотрим:

$$\frac{B_z}{E_\rho/c}=\frac{\omega R}{c}\,\times\frac{K\left(\rho,R\right)}{S\left(\rho,R\right)}$$

Где$c$это скорость света. Играть с$r\approx R$показывает, что для$K/S\sim 1$, поэтому ключевая величина здесь$\omega R/c$которая представляет собой отношение скорости, с которой заряды движутся в петле, к скорости света.

Четко$\omega R/c<1$, но для больших угловых скоростей в принципе можно иметь$c B_z/E_\rho>1$. Тогда все наблюдатели, проходящие через эту точку пространства, будут наблюдать ненулевое магнитное поле. Логика основана на$B^2-E^2/c^2$ инвариант электромагнитного поля

При нормальных настройках электрические и магнитные поля, видимые инерциальным наблюдателем, будут, если предположить, что наблюдатель смещен от начала координат по оси x:

$$\begin{align} E_x &= E \\ B_z &\approx \frac{\omega R}{c} E \end{align}$$

Отсюда вы сможете применить преобразования Лоренца для аппроксимации электромагнитного поля в мгновенной инерциальной системе отсчета вращающегося наблюдателя B.

---

Заметил такое соотношение$K/S$расходится для$r \uparrow R$, поэтому, если наблюдатель сидит в петле, у вас, вероятно, может возникнуть ситуация$c B_z/E_\rho>1$даже при относительно умеренных скоростях вращения