Каким математическим оператором является действие в квантовой механике?

В квантовой механике мы привыкли думать о состояниях, представленных векторами в (возможно, бесконечномерном, проективном) гильбертовом пространстве, снабженном скалярным произведением (например,$L_2$норма). Физические наблюдаемые представлены эрмитовыми линейными операторами, такими как гамильтониан. В принципе, я полагаю, что лагранжиан можно определить как оператор, но я не знаю, как определить это утверждение количественно. Тем не менее, меня интересует, какой оператор можно придумать для действия,$S = \int dt \,L$, как есть. Уравнение Шредингера говорит нам, что гамильтониан является генератором унитарной временной эволюции, и кажется, что тогда мы могли бы сказать, что информационное содержание минимальной квантовой механики дается выражением «КМ$\sim$Гильбертово пространство + уравнение Шредингера». На этой грубой основе можно перейти к определению интеграла по путям, из которого мы видим, что действие возникает довольно естественным образом, и после этого можно принять «классический предел».$\hbar \rightarrow 0$получить классический принцип действия с помощью рассуждения о седловой точке. Но мне интересно, как следует думать о действии в контексте УК. Например, мы можем определить статистическую сумму, описывающую тепловое состояние в соответствии с

$$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{-\hat{H}/T})$$ и, возможно, по аналогии можно думать об интеграле по траекториям как о $$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{i \hat{S}/\hbar})$$ но$\hat{H}$является линейным оператором в векторном пространстве, а "$\hat{S}$"является "оператором" в пространстве "путей" (непрерывных последовательностей состояний в гильбертовом пространстве?).

Мне интересно, как можно сделать это более конкретным. Мне кажется, что принципиальное отличие состоит в том, что в действии присутствует интеграл по времени, а генератором эволюции во времени является гамильтониан. Это наводит на мысль, что можно подумать о$\hat{H}$как в какой-то «алгебре Ли», в то время как$S$находится в его «группе Ли», если я могу злоупотреблять некоторой терминологией и несколько абстрагировать понятия (мое понимание этих тем все еще немного расплывчато и неполно, если я правильно понимаю, операторы эволюции времени$U(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$будет в группе Ли, порожденной$\hat{H}$. В таком случае, каково пространство, в котором живет/действует действие?)