Второе квантование: ДОЛЖНЫ ли фермионные операторы на разных сайтах антикоммутировать?

При втором квантовании мы предполагаем, что у нас есть фермионные операторы а я которые удовлетворяют { а я , а Дж } "=" 0 , { а я , а Дж † } "=" дельта я Дж , { а я † , а Дж † } "=" 0 . Другой способ сказать это так:

а я † | н 1 , . . . , н я , . . . , н Н ⟩ "=" { ( − 1 ) ∑ Дж < я н Дж | н 1 , . . . , н я + 1 , . . . , н Н ⟩ н я "=" 0 0 н я "=" 1 |

а я | н 1 , . . . , н я , . . . , н Н ⟩ "=" { ( − 1 ) ∑ Дж < я н Дж | н 1 , . . . , н я − 1 , . . . , н Н ⟩ н я "=" 1 0 н я "=" 0 |
из которого можно вывести приведенные выше соотношения.

Я понимаю, почему операторы на одних и тех же сайтах должны подчиняться антикоммутационным соотношениям, иначе нарушилось бы исключение Паули. Однако я не уверен, что понимаю, почему операторы на разных сайтах должны антикоммутировать.

Почему у нас не может быть алгебры фермионных операторов, подчиняющихся антикоммутационным соотношениям для я "=" Дж , а в остальном подчиняющиеся соотношениям [ а я ( † ) , а Дж ( † ) ] "=" 0 ? Мы могли бы определить операторы

а я † | н 1 , . . . , н я , . . . , н Н ⟩ "=" { | н 1 , . . . , н я + 1 , . . . , н Н ⟩ н я "=" 0 0 н я "=" 1 |

а я | н 1 , . . . , н я , . . . , н Н ⟩ "=" { | н 1 , . . . , н я − 1 , . . . , н Н ⟩ н я "=" 1 0 н я "=" 0 |
без знака перед кет, из которого можно вывести новые коммутационные/антикоммутационные соотношения. Это как-то незаконно? Являются ли операторы, которые я определил, на самом деле плохо определены? Есть ли способ использовать определение, которое я дал, чтобы получить противоречие? Или мы просто предполагаем, что фермионные операторы антикоммутируют для удобства обозначений?

До сих пор все книги / PDF-файлы, которые я просматривал, доказывали, что антикоммутационные отношения выполняются для фермионных операторов на одном и том же сайте, а затем предполагали, что антикоммутационные отношения выполняются на разных сайтах.

Я думаю, что на практике это выглядит как оператор преобразования Джордана-Вигнера, только без «строки». Так что я предполагаю, что это может быть связано с вопросом: что пойдет не так, если мы забудем строку в преобразовании Джордана-Вигнера.

Ответы (3)

На простом уровне «вторичного квантования» нет ничего плохого в том, что фермионные операторы коммутируют с другими фермионными операторами. Они не «знают», что являются операторами «одного и того же фермиона» на разных сайтах, так что они могли бы и коммутировать.

Но более глубокая причина того, что фермионные операторы на разных узлах антикоммутируют, заключается в том, что они являются просто модами одного и того же фермионного поля в лежащей в основе КТП, а моды спинорного поля антикоммутируют, потому что сами поля антикоммутируют, и это отношение наследуется их модами .

По существу тот же аргумент в другой формулировке говорит, что фермионные состояния должны быть антисимметричными при обмене идентичными фермионами . Это постулат КМ/«второго квантования» и становится производным утверждением только в КТП как теорема о спиновой статистике . Так что у вас должен быть этот обмен я ↔ Дж влечет минус на состояние, имеющее одно фермионное возбуждение при я и еще один в Дж - и это точно соответствует а я † и а Дж † антикоммутирующий.

Это равносильно тому, чтобы попросить операторов на разных сайтах коммутировать или антикоммутировать. А именно, всегда существует так называемое преобразование Клейна, изменяющее коммутацию между разными сайтами. Если они антикоммутируют, говорят, что они имеют естественные коммутационные отношения.

Предлагаемые вами смешанные (анти-) коммутационные соотношения часто изучаются теоретиками конденсированного состояния. Но их называют не фермионами, а скорее «жесткими бозонами», чтобы отразить тот факт, что они коммутируют в разных местах и ​​демонстрируют другую физику, чем обычные фермионы.

Второе квантование: ДОЛЖНЫ ли фермионные операторы на разных сайтах антикоммутировать?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v