Наложение антикоммутационных соотношений на фермионные квазичастицы

Все восходит к теории ферми-жидкости Ландау , когда Ландау предположил, что возбужденные состояния ферми-жидкости (ферми-жидкость - это ферми-газ с дополнительным двухчастичным взаимодействием, или электрон-фононным взаимодействием,...) подчиняется Статистика Ферми-Дирака. Ландау ввел термин квазичастицы для одетых электронов: обычный электрон, окруженный взаимодействующим облаком экранирующих зарядов, или составная электрон-фононная частица (называемая плазмонами). В любой книге о металле говорилось бы об этом. Самые известные из них

• Абрикосов А.А. Основы теории металлов Северной Голландии (1988)
• Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике Прентис Холл (1963).
• Филипп Нозьер и Дэвид Пайнс Теория квантовых жидкостей Westview Press (1999).

для книг первого поколения, говорящих на эту тему. Я бы избегал, насколько это возможно, современных книг по вашему вопросу, поскольку они обычно очень небрежны в этом отношении. [NB: По уважительной причине: современные разработки в области конденсированных сред иногда обнаруживают квазичастицы, которые не являются ни бозонами, ни фермионами, но это уже другая история.]

По-настоящему педагогическое введение в тему квазичастиц (что он отмечает в статье) находится в

• Р. Д. Маттак Руководство по диаграммам Фейнмана в задаче многих тел Дувр (1992)

особенно главы 2, 4 и 8.

Хорошая литература по сверхпроводимости, особенно по преобразованию Боголюбова, в дополнение к оригинальной литературе (довольно трудная для понимания, поэтому я не даю вам ссылки)

• П.Г. де Жен Сверхпроводимость металлов и сплавов , Westview (1966).
• А. И. Феттер и Дж. Д. Валецка, Квантовая теория систем многих частиц, Dover Publications (2003 г., первое издание 1971 г.)

Это были детали, которые Тримок забыл в своем превосходном ответе .

Здесь я следую этой ссылке

Здесь мы рассматриваем пары, состоящие из двух фермионных партнеров. Мы связываем другое значение параметра$\sigma$для каждого из партнеров.

Фермионные операторы рождения/уничтожения проверяют:

$[c_{k,\sigma},c_{k',\sigma'}]_+ = 0$и$[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

Преобразование Боголюбова-Валатина:

$b_{k,\sigma} = (u_k ~c_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c^+_{-k,-\sigma})$,$b^+_{k,\sigma} = (u_k ~c^+_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c_{-k,-\sigma})$

Для простоты здесь$u_k$и$v_k$предполагаются реальными.

Итак, у нас есть:

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - u_kv_{k'}\sigma'[c_{k,\sigma},c^+_{-k',-\sigma'}]_+ - v_{k}u_{k'}\sigma[c^+_{-k,-\sigma},c_{k',\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - (u_kv_{k'}\sigma'+ v_{k}u_{k'}\sigma)\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{k'} - v_{k}u_{k'})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{-k} - u_{-k}v_{k})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~$ $(1)$

То же соотношение справедливо для$[b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+$

У нас также есть:

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = u_ku_{k'}[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ +\sigma \sigma' v_{k}v_{k'}[c^+_{-k,-\sigma},c_{-k',-\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_ku_{k'} + \sigma \sigma' v_{k}v_{k'}) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_k^2 + v_k^2) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ $(2)$

Теперь предположим:

$$u_k = u_{-k}, v_k = v_{-k}, (u_k^2 + v_k^2) = 1~~~~~~~~~~~~~~(3)$$ : Это каноническое преобразование.

Из уравнения$(1)$, Мы получаем :

$$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = [b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+=0$$

Из уравнения$(2)$, мы получаем :

$$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$$

Это показывает, что операторы$b_{k,\sigma}, b^+_{k,\sigma}$являются фермионными операторами, проверяющими антикоммутационные соотношения.

См. ссылку - глава 8-4, стр. 46.

[EDIT] Теперь мы можем показать, что можно найти$u_k and v_k$, такие, что подчиняются уравнению (3), т. е. соответствуют каноническому преобразованию.

Мы только здесь даем логику, сопровождаемую ссылкой , и цитируем точное уравнение и страницу.

1) Напишите гамильтониан с новыми операторами$b_k, b^+_k$:

$$Formula~ (156)~ page~ 47$$

2) Введение номера оператора$n_k$, выражение гамильтониана с этими операторами и поиск собственного значения$E$:

$$Formula~ (157 - 158)~ page~ 48$$

3) Минимизация E относительно$u_k$

$$Formula~ (159)~ page~ 48$$

4) Выражение$u_k,v_k$функция энергий$\epsilon_k$, химический потенциал$\mu$, и количество$\Delta$(эта последняя величина зависит от$u_k,v_k,n_k$)

$$Formula~ (160, 161)~ page~ 48$$

5) На данный момент необходимость$u_k,v_k$представляющее каноническое преобразование, дайте уравнение для величины$\Delta$

$$Formula~ (162)~ page~ 48$$

6) Визуализация параметров$u_k,v_k$.

$$Figure ~ (36)~ page~ 49$$

7) Приближение среднего поля: последний член гамильтониана изменяется, и гамильтониан среднего поля становится диагональным:

$$Formula~ (164)~ page~ 49$$

8) Заключение справки (начало страницы 50)

«Тот факт, что преобразование Боголюбова-Валатина диагонализует БКШ-гамильтониан, по крайней мере, в приближении среднего поля, оправдывает апостериорно наше предположение, что основное состояние может быть найдено как собственное состояние операторов ˆb-числа заполнения. Соотношения (160) часто выводятся как диагонализация БКШ-гамильтониана среднего поля вместо минимизации выражения для энергии (158). На самом деле обе связи одинаково важны и только вместе дают решение этого гамильтониана. Ясно, что БКШ-теория, основанная на на этом решении есть теория среднего поля».