Знак минус в операторе заказа времени

Возможно, самый простой способ увидеть, что должен быть фактор знака Грассмана.$(-1)^{|A| |B|}$в определении порядка времени

$$\tag{1} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\} ~:=~ \theta(t_A-t_B) A(t_A) B(t_B) + (-1)^{|A| |B|} \theta(t_B-t_A) B(t_B) A(t_A), \qquad$$

это перейти к классическому пределу$\hbar\to 0$. Здесь$|A|$обозначает четность Грассмана, которая$0~{\rm mod}~2$если$A$является бозоном и$1~{\rm mod}~2$если$A$является фермионом. Более того,$\theta$— ступенчатая функция Хевисайда . В классическом пределе все поля должны суперкоммутировать, а это означает, что суперкоммутатор

$$\tag{2} [A,B]~:=~ AB - (-1)^{|A| |B|}BA~=~0 \qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

должен исчезнуть. Это следует из принципа соответствия между КМ и классической механикой:

$$\begin{array}{ccc} \text{Operator} &\longleftrightarrow& \text{Symbol/Super-function}\cr A& \longleftrightarrow& a \cr B& \longleftrightarrow& b \cr [A,B]& \longleftrightarrow&i\hbar \{a,b\}_{PB}+ {\cal O}(\hbar^2)\cr \text{Supercommutator}&\longleftrightarrow& \text{Super-Poisson bracket.}\end{array} \tag{3}$$ В частности, временной порядок не должен иметь значения в классическом пределе $\hbar\to 0$:

$$\tag{4} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\}~=~A(t_A) B(t_B)~=~(-1)^{|A| |B|}B(t_B)A(t_A).\qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

Но это будет иметь место только в том случае, если мы включим фактор знака Грассмана$(-1)^{|A| |B|}$в определении (1).