Вывод антикоммутационного соотношения между операторами рождения/уничтожения для фермионов Дирака

Question

Вывод антикоммутационного соотношения между операторами рождения/уничтожения для фермионов Дирака

Физика
фермионы
антикоммутатор
уравнение Дирака
вторичное квантование
квантовая теория поля

Морс

Начиная с полей Дирака:

Ψ (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{г^{3} к}{\sqrt{2 ю_{к}}} \sum_{р} {[с_{р} (к) {ты}_{р} (к) е^{- я к Икс} + г_{р}^{†} (к) в_{р} (к) е^{- я к Икс}]}_{к_{0} "=" ю_{к}}

$\Psi(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[ c_r(k)u_r(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_r(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}$

Ψ^{†} (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{г^{3} к}{\sqrt{2 ю_{к}}} \sum_{р} {[г_{р} (к) в_{р}^{†} (к) е^{- я к Икс} + с_{р}^{†} (к) {ты}_{р}^{†} (к) е^{я к Икс}]}_{к_{0} "=" ю_{к}}

$\Psi^\dagger(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[d_r(k)v^\dagger_r(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_r(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k}$

где $\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}$ .

Каноническое условие квантизации гласит:

{\begin{cases} {Ψ_{α} (Икс), Ψ_{β}^{†} (у)}_{т} "=" {дельта}^{(3)} (\vec{Икс} - \vec{у}) {дельта}_{α β} \\ {Ψ_{α} (Икс), Ψ_{β} (у)}_{т} "=" 0 \\ {Ψ_{α}^{†} (Икс), Ψ_{β}^{†} (у)}_{т} "=" 0 \end{cases}

$\begin{cases} \{\Psi_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\ \ \delta_{\alpha\beta}\\ \{\Psi_\alpha(x), \Psi_\beta(y)\}_t = 0\\ \{\Psi^\dagger_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = 0\\ \end{cases}$

Чтобы вывести условие квантования для операторов рождения/уничтожения, я должен переписать $c,c^\dagger,d,d^\dagger$ с точки зрения $\Psi$ и $\Psi^\dagger$ .

Например, чтобы получить каноническое условие квантования между $c,c^\dagger$ Я могу переписать их как:

с_{р} (к) "=" \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{г^{3} Икс}{\sqrt{2 ю_{к}}} {ты}_{р}^{†} (к) Ψ (Икс) е^{я к Икс}

$c_r(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3x}{\sqrt{2\omega_k}} u_r^\dagger(k) \Psi(x) e^{ikx}$

с_{с}^{†} (п) "=" \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{г^{3} у}{\sqrt{2 ю_{п}}} Ψ^{†} (у) {ты}_{с} (п) е^{- я п у}

$c^\dagger_s(p) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3y}{\sqrt{2\omega_p}} \Psi^\dagger(y) u_s(p) e^{-ipy}$

а затем явно вычислить антикоммутатор:

\begin{aligned} {с_{р} (к), с_{с}^{†} (п)}_{т} & "=" \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{г^{3} Икс г^{3} у}{\sqrt{2 ю_{к} 2 ю_{п}}} [{ты}_{р}^{†} (к) Ψ (Икс) Ψ^{†} (у) {ты}_{с} (п) + Ψ^{†} (у) {ты}_{с} (п) {ты}_{р}^{†} (к) Ψ (Икс)] е^{я (к Икс - п у)} \\ "=" \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{г^{3} Икс г^{3} у}{\sqrt{2 ю_{к} 2 ю_{п}}} [{ты}_{р}^{†} (к) {Ψ (Икс), Ψ^{†} (у)} {ты}_{с} (п)] е^{я (к Икс - п у)} \\ "=" \dots \end{aligned}

$\begin{split} \{c_r(k), c^\dagger_s(p)\}_t &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \Psi(x)\Psi^\dagger(y) u_s(p) + \Psi^\dagger(y) u_s(p)u_r^\dagger(k) \Psi(x) \right]e^{i(kx-py)}\\ &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \{\Psi(x), \Psi^\dagger(y)\} u_s(p)\right]e^{i(kx-py)}\\ &= \cdots \end{split}$

Но тут я что-то упускаю: я не понимаю, почему я могу поменяться местами $u_s(p)$ и $u_r^\dagger(k)$ во втором члене, чтобы восстановить антикоммутатор между $\Psi$ и $\Psi^\dagger$ .

Джон

Во всех священных учебниках все наоборот. Вы постулируете антикоммутационные соотношения для

c_{r}

$c_r$ и

d_{r}

$d_r$ и тогда вы в одном шаге от вывода антикоммутационных соотношений для полей.

Ответы (2)

Вывод антикоммутационного соотношения между операторами рождения/уничтожения для фермионов Дирака

Во всех священных учебниках все наоборот. Вы постулируете антикоммутационные соотношения для $c_r$ и $d_r$ и тогда вы в одном шаге от вывода антикоммутационных соотношений для полей.

КАФ · Answer 1

Вы должны продолжить сокращение спинорных индексов и вспомнить, что, например, пара $u^{\dagger}(k,r) \Psi(x) \equiv u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)$ , с $u^{\dagger}_{\alpha}(k,r)$ маркировка $\alpha^{\text{th}}$ компонент спинора Дирака $u^{\dagger}(k,r)$ . Поэтому,

{с (к, р), с^{†} (п, с)} \sim \int г^{3} Икс г^{3} у ({ты}_{α}^{†} (к, р) Ψ_{α} (Икс) Ψ_{β}^{†} (у) {ты}_{β} (п, с) + Ψ_{β}^{†} (у) {ты}_{β} (п, с) {ты}_{α}^{†} (к, р) Ψ_{α} (Икс)) "=" \int г^{3} Икс г^{3} у ({ты}_{α}^{†} (к, р) {Ψ_{α} (Икс), Ψ_{β}^{†} (у)} {ты}_{β} (п, с)) "=" \dots "="

$\left\{c(k,r),c^{\dagger}(p,s)\right\} \sim \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s) + \Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s)u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\right) \\= \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \left\{\Psi_{\alpha}(x),\Psi^{\dagger}_{\beta}(y)\right\} u_{\beta}(p,s)\right) = \dots =$

Завершите упражнение, используя канонические антикоммутаторы поля квантования вместе с отношениями ортогональности/полноты среди $u$ с.

Шриджан · Answer 2

Здесь $\Psi(x)$ представляет собой матрицу-столбец, имеющую 4 компонента и $\Psi^\dagger(x)$ представляет собой матрицу строк с 4 элементами строки (конечно, эти элементы являются функциями $x$ ).

И когда вы принимаете антикоммутацию, вы выбираете один компонент (или элемент) $\Psi_\alpha(x)$ из (4 $\times$ 1) матрица-столбец $\Psi(x)$ и аналогично вы должны выбрать один компонент $\Psi^\dagger_\beta(x)$ от 1 $\times$ 4) матрица строк $\Psi^\dagger(x)$ .

\begin{aligned} Ψ_{α} (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{г^{3} к}{\sqrt{2 ю_{к}}} \sum_{р "=" 1, 2} {[с_{р} (к) {ты}_{р, α} (к) е^{- я к Икс} + г_{р}^{†} (к) в_{р, α} (к) е^{- я к Икс}]}_{к_{0} "=" ю_{к}} \\ Ψ_{β}^{†} (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{г^{3} к}{\sqrt{2 ю_{к}}} \sum_{р "=" 1, 2} {[г_{р} (к) в_{р, β}^{†} (к) е^{- я к Икс} + с_{р}^{†} (к) {ты}_{р, β}^{†} (к) е^{я к Икс}]}_{к_{0} "=" ю_{к}} \end{aligned}

$\begin{align} \Psi_\alpha(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[ c_r(k)u_{r,\alpha}(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_{r,\alpha}(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}\\ \Psi^\dagger_\beta(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[d_r(k)v^\dagger_{r,\beta}(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_{r,\beta}(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k} \end{align}$ Итак, теперь вы можете видеть там

u

$u$ и

v

$v$ имеет два индекса r и

α

$\alpha$ (или

β

$\beta$ ), здесь

r

$r$ может принимать значения 1 и 2, а

α

$\alpha$ (или

β

$\beta$ ) может принимать значения 1,2,3,4.

Или просто $u_{r,\alpha}$ (или $v_{r,\alpha}$ ) это $\alpha$ -й компонент (или $\alpha$ -й матричный элемент) из (4 $\times$ 1) матрица-столбец $u_r$ (или $v_{r}$ ).

И аналогично, $u_{r,\alpha}^\dagger$ (или $v_{r,\alpha}^\dagger$ ) это $\alpha$ -й компонент (или $\alpha$ -й матричный элемент) группы (1 $\times$ 4) матрица строк $u_r^\dagger$ (или $v_{r}^\dagger$ ).

Таким образом $u_{r,\alpha}$ , $v_{r,\alpha}$ , $u_{r,\alpha}^\dagger$ , $v_{r,\alpha}^\dagger$ все это просто числа или матричные элементы, а не матрицы.

Итак, вы продолжаете путь, которым шли, и легко меняетесь местами. $u_{s,\alpha}(p)$ и $u_{r,\alpha}(k)$ (в ваших обозначениях), поскольку они являются просто числами или компонентами (или элементами) соответствующих матриц.

Вывод антикоммутационного соотношения между операторами рождения/уничтожения для фермионов Дирака

Морс

Джон

Ответы (2)

КАФ

Шриджан

Фермионные антикоммутационные соотношения

Знак перед кинетическими терминами QFT

Вывод идентичности гамма-матрицы

Фермионный пропагатор как производная от скалярного пропагатора

Уравнение Дирака в КТП против релятивистской КМ

Связь между спинорами и антикоммутационная связь фермионов

Осмысление канонических антикоммутационных соотношений для спиноров Дирака

Зачем нужно 2nd2nd2^\text{nd} квантование уравнения Дирака

Зачем нужны антикоммутаторы при квантовании полей Дирака?

Уравнение Дирака как гамильтонова система