Коммутационные соотношения при вторичном квантовании

Я знаю, что для операторов а ( х 1 ) , а ( х 2 ) того же типа (фермионные или бозонные)

(1) [ а ( х 1 ) , а ( х 2 ) ] − ξ "=" [ а † ( х 1 ) , а † ( х 2 ) ] − ξ "=" 0

где

(2) ξ "=" { + 1 для бозонов − 1 для фермионов

и [ . ] − 1 является коммутатором и [ . ] + 1 является антикоммутатором. Я также знаю, как эти операторы действуют на произвольные состояния Фока:

(3) а † ( х ) | ф 1 , … , ф Н ⟩ "=" | х , ф 1 , … , ф Н ⟩

(4) а ( х ) | ф 1 , … , ф Н ⟩ "=" ∑ Дж ξ Дж − 1 ⟨ х | ф Дж ⟩ | ф 1 , … , ф ^ Дж , … , ф Н ⟩

где ψ к ^ обозначает отсутствие конкретной волновой функции.

Как вывести отношение

(5) [ а ( х 1 ) , а † ( х 2 ) ] − ξ "=" а ( х 1 ) а † ( х 2 ) − ξ а † ( х 2 ) а ( х 1 ) "=" ⟨ х 1 | х 2 ⟩ ?

PS Я слежу за этими заметками (раздел 1.5) и не могу понять, что имеется в виду в этом посте phys.SE.

Редактировать (28.07) : Произнести | Ψ ⟩ "=" | ф 1 , … , ф Н ⟩ . Я пытался

а ( х 1 ) а † ( х 2 ) | Ψ ⟩ "=" ∑ к ξ к ⟨ х 2 | ф Дж ⟩ | х 1 , ф 1 , … , ф ^ Дж , … , ф Н ⟩ + ⟨ х 1 | х 2 ⟩ | Ψ ⟩

− ξ а † ( х 2 ) а ( х 1 ) | Ψ ⟩ "=" − ∑ к ξ к ⟨ х 1 | ф Дж ⟩ | х 2 , ф 1 , … , ф ^ Дж , … , ф Н ⟩

Добавив две строки выше, я должен получить желаемый результат. Кажется, что суммы должны аннулироваться, но я не могу понять, почему.

Ответы (1)

Для бозонов: Мы помещаем себя в подходящую общую область, т.е. конечные векторы частиц. Затем

( а * ( ф ) Ψ ) н ( Икс н ) "=" 1 н ∑ Дж "=" 1 н ф ( Икс Дж ) Ψ н − 1 ( Икс н ∖ Икс Дж ) ( а ( ф ) Ψ ) н ( Икс н ) "=" н + 1 ∫ ф ¯ ( Икс ) Ψ н + 1 ( Икс , Икс н ) г Икс
Отсюда по определению
( а ( г ) а * ( ф ) Ψ ) н ( Икс н ) "=" ∑ Дж "=" 1 н + 1 ∫ г ¯ ( Икс 1 ) ф ( Икс Дж ) Ψ н ( Икс н + 1 ∖ Икс Дж ) ( а * ( ф ) а ( г ) Ψ ) н ( Икс н ) "=" ∑ Дж "=" 1 н ∫ г ¯ ( Икс ) ф ( Икс Дж ) Ψ н ( Икс , Икс н ∖ Икс Дж ) .
Результат сразу следует за вычитанием. Для фермионов аналогично.

Является ф здесь функция? Это р → р ? Ваше выражение для оператора создания с интегралом мне незнакомо.
@Минетлос ф является элементом одночастичного гильбертова пространства. Таким образом, в большинстве случаев это функция, интегрируемая с квадратом. ф е л 2 ( р г , С )
Коммутационные соотношения при вторичном квантовании
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v