Второй закон термодинамики черных дыр

Доказательство очень простое, Хокинг увидел его в мгновение ока. Пока я писал это, я нашел доказательство уравнения Райчоудхури, представленное на странице Википедии. Чтобы понять это, есть три фоновых результата, с которыми вам должно быть удобно.

Площадь горизонта имеет физический смысл

Учитывая три почти параллельных бесконечно мало разделенных световых луча в пространстве Минковского, движущихся в направлении, перпендикулярном их плоскости разделения, вы можете определить площадь, которую они охватывают, разрезав их пространственно-временной плоскостью и спросив, какова площадь треугольника, который они образуют. . В отличие от евклидовой геометрии, где это никогда не верно ни для какой площади, в геометрии Минковского площадь этого треугольника не зависит от ориентации плоскости. Другими словами, вы можете перемещать каждую из трех точек пересечения вверх и вниз по световому лучу, не изменяя площадь треугольника.

Чтобы увидеть это, сначала заметьте, что если у вас есть два параллельных световых луча l,l', расстояние между которыми перпендикулярно их линии движения, и у вас есть линия между двумя точками на l и l' соответственно, длина этой линии не равна зависит от того, какие две точки он соединяет. Длина s в пространстве Минковского определяется выражением

$s^2= A\cdot A$

и если вы добавите нуль-вектор N к A, результат не изменится, потому что$A\cdot N$а также$N \cdot N$оба равны нулю. Это означает, что если у вас есть три световых луча, которые движутся в одном направлении и разделены перпендикулярно направлению движения, вы соедините любые три точки этих лучей, и три длины сторон получившегося треугольника будут одинаковыми. Конгруэнтность между сторонами верна и в пространстве Минковского (когда длины сторон отличны от нуля).

Таким образом, площадь черной дыры хорошо определена — разрежьте поверхность на бесконечно малые треугольники, которые близки к некоторой пространственно-подобной поверхности, пересекающей горизонт, и независимо от того, какую ориентацию эти треугольники имеют со световыми лучами, вы получите один и тот же ответ. . Это важный момент, который плохо объясняется в обычных методах лечения.

Уравнение отклонения

Если две параллельные геодезические движутся в общем направлении с разделением$\Delta$, вы можете думать, что их относительная динамика определяется законом Ньютона. Параметризируя пространство-время в окрестности одного из них с локальными координатами, отклонение другого определяется путем разложения формулы длины дуги до второго порядка. Результатом является движение с линейной восстанавливающей/выталкивающей силой.

Пружинная постоянная восстанавливающей/выталкивающей силы является одним из эквивалентных определяющих свойств кривизны Римана:

${d^2 \Delta^\mu\over d\tau^2} = R^\mu_{\nu\sigma\lambda} \Delta^\nu \dot{x}^\sigma\dot{x}^\lambda$

Рассмотрим симплекс, составленный из близких точек, лежащих на некоторой бесконечно малой пространственноподобной плоскости, и зададим эти точки движущимися во времениподобном направлении, перпендикулярном этой плоскости. Скорость, с которой логарифм их объема увеличивается в зависимости от их общего собственного времени s, называется расширением.$\theta$. производная от$\theta$интересно, потому что он принимает след Риччи тензора Римана, когда вы оцениваете его с точки зрения геодезического отклонения выше:

${d\theta \over ds} = - {1\over 2}\theta^2 - \sigma^2 - R_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x^\nu}$

Где$\sigma$не имеет значения, поскольку всегда вносит отрицательный вклад. Это уравнение Райчоудхури (для исчезающей завихренности --- завихренность исчезает для этих параллельных бесконечно мало разделенных геодезических во все времена, потому что силы кривизны представляют собой пружины Гука, направленные внутрь и наружу). Для нулевых путей объем становится площадью (два перпендикулярных направления симплекса становятся параллельными), а собственное время становится аффинным параметром.

Обратите внимание, что на нулевом векторе, таком как$\dot{x}$,$T_{\mu\nu}$равно$R_{\mu\nu}$, поэтому при слабом энергетическом условии эта величина всегда положительна. Это говорит вам о том, что, как только дивергенция становится отрицательной, она должна рухнуть до минус бесконечности за конечное собственное время. Если площадь маленького треугольника параллельных световых лучей в любой момент уменьшается по их аффинному параметру, если выполняется слабое энергетическое условие, то эта площадь рухнет до нулевой площади после конечного аффинного параметра. Это означает, что какие-то две соседние геодезические в конгруэнтности столкнулись или «сфокусировались».

Теорема фокусировки

Когда две близкие геодезические сталкиваются, они не могут быть «кратчайшими» путями между их концами по простой причине: во-первых, отклонения между ними всегда в первом бесконечно малом порядке, так что они имеют одинаковую длину дуги (по той же причине, по которой частицы которые медленно движутся относительно друг друга, согласуются в их общем ньютоновском времени, и это понятие распространяется на аффинный параметр в пределах). Если геодезические 1 и 2 начались в точке P, стали параллельными на какое-то время, а затем пересеклись, вы можете следовать по 1 от P до точки пересечения, затем по 2 до конца, и это такая же длина, как по 2 на всем пути от П до конца. Но первый путь сгибает угол. Если свет изгибает угол, его можно догнать по времениподобному пути, поэтому за точкой пересечения

Это верно для двух геодезических, которые начинают двигаться в направлении, перпендикулярном данной пространственно-подобной плоскости, точно так же, как и для тех, которые исходят из общей точки, заменяя «расстояние от точки» на «расстояние от плоскости».

Теорема площади

Горизонт событий черной дыры определяется как те световые пути, которые почти не ускользают. Если световые лучи немного вытолкнуть наружу, то они уйдут в бесконечность, а если их немного втолкнуть внутрь, то они втянуты в черную дыру. Это означает, что любой массивный объект, попадающий на эти световые лучи, никогда не сможет догнать эти световые лучи, он должен упасть в черную дыру.

Догадка Хокинга заключалась в том, что если площадь в какой-то момент уменьшается в любом маленьком треугольнике на этом горизонте, она должна рухнуть до нуля по конечному аффинному параметру. Это означает, что две близлежащие нулевые геодезические на продолжении этого симплекса вперед по аффинному параметру будут фокусироваться. Но это означает, что их расширение может быть связано с исходным симплексом времениподобным путем, так что их расширение должно быть внутри черной дыры, а значит, они не могут быть на границе.