Вычисление работы, совершаемой частицей, испытывающей силу, в полярных координатах.

Выше приведен источник моей неуверенности в понимании движения этой конкретной частицы. Я рассматриваю (а) здесь, и вот что я думаю:

• Движение частицы мне трудно понять. В радиальном направлении он кажется рывком, так как сила увеличивается с увеличением радиуса. Перпендикулярно$\hat r$, кажется, что на него действует сила в зависимости от его положения. В$\theta = \pi / 2$, например, не будет$\hat \theta$на него направлена ​​сила, но как же тогда он ощущает силу в направлении$\hat \theta$после? Доходит ли до$\pi / 2$и оставаться там?

• Независимо от того, как он движется, вычисление проделанной работы может быть выполнено путем рассмотрения скалярного произведения силы и некоторого произвольного вектора положения.$\vec {dr}$. Теперь, поскольку в полярных$\vec r$необходимо выразить только с помощью$\hat r$в уравнении$\vec r = r\ \hat r$, моим инстинктом было бы представить$\vec {dr}$как$\vec {dr} = dr\hat r$. Однако моя другая идея состоит в том, чтобы использовать$\vec {dr} = dr\hat r + d\theta \hat \theta$. Это также сделало бы точечный продукт более простым, так как я могу решить работу в$\hat \theta$но я чувствую, что это будет означать$\vec r = r\hat r + \theta \hat \theta$что не имеет для меня смысла, так как я никогда не видел, чтобы вектор положения в полярном описании описывался таким образом.

Чтобы вычислить работу, совершенную при движении из$(0,0)$к$(1,\pi/4)$, будут трудовые вклады в$\hat r$и$\hat \theta$. Так:

Независимо от пути, двигаясь от$(0,0$к$(1,\pi/4)$должен включать в себя этот трудовой вклад. Для (а) я интерпретирую «путь$\theta = \pi/4$" как$r$простирающийся от$0$к$\infty$под углом$\pi/4$от происхождения, как$r$неограничен с$\theta = \pi/4$. В связи с этим,$\theta$фиксирована на этом пути, поэтому нас интересует только этот интеграл. Это заставляет нас иметь наш ответ как$a/2$. Однако, если это действительно так, вопросы, выделенные в моих пунктах списка, по-прежнему не имеют хорошего ответа от меня, поэтому их рассмотрение было бы полезно.