Концепция работы, проделанной весной

Я значительно обновил свой ответ, потому что у ОП та же концептуальная проблема, что и у многих из нас, чаще в контексте получения электрического потенциала из-за точечного заряда и гравитационного потенциала из-за точечной массы.
Мой ответ может быть многословным, но я счел его необходимым, потому что он вызывал так много проблем в прошлом и, без сомнения, будет вызывать их в будущем.

С пружиной изменение потенциальной упругой энергии пружины равно работе, совершаемой внешней силой, в то время как изменение длины пружины с альтернативным определением изменение потенциальной упругой энергии пружины равно минус работе, совершаемой внешней силой. сила, действующая на пружину при изменении длины пружины.

Все идет хорошо, если учесть, что длина пружины увеличивается до некоторого удлинения.$x$от естественной длины$x=0$при приложении внешней силы изменение упругой потенциальной энергии пружины равно$\frac 12 k x^2$где$k$- пружинная постоянная.
Как и ожидалось$\frac 12 k x^2$является положительной величиной, т.е. упругая потенциальная энергия пружины увеличилась.

ОП решил посмотреть на работу, выполняемую пружиной, когда длина пружины уменьшается, и используя тот факт, что сила, вызванная пружиной, противоположна по направлению внешней силе, и приращение смещения силы$dx$такова, что она также отрицательна, так что скалярное произведение силы и приращения смещения положительно.
Выполнение интегрирования между начальным и конечным растяжением приводит к отрицательному значению работы, совершаемой пружиной, и, следовательно, к увеличению упругой потенциальной энергии пружины, что явно неверно.

Позвольте мне попытаться объяснить ошибку во втором выводе, рассмотрев гораздо более простой пример, в котором у нас есть «волшебная» пружина, действующая с постоянной силой.$F$когда его длина колеблется между$x_{\rm A}$и$x_{\rm B}$с$x_{\rm B} > x_{\rm A}$.

Чтобы попытаться прояснить, что происходит, я также буду использовать числовой пример с силой, имеющей величину$5\,\rm N$и длины$x_{\rm B}$и$x_{\rm A}$существование$3\, \rm m$и$1\, \rm m$соответственно.

Это одномерная задача, и я определяю единичный вектор в положительном направлении x.$\hat x$а внешняя сила, действующая на пружину, равна$\vec F_{\rm external} = F_{\rm external} \hat x = +5 \hat x$.
Обратите внимание, что$F_{\rm external}$- составляющая силы в$\hat x$направление.

Положение конца пружины меняется от$\vec x_{\rm initial} = x_{\rm initial} \hat x$к$\vec x_{\rm final} \hat x$а смещение конца пружины, равное смещению внешней силы, равно$\Delta \vec x = \Delta x \hat x = \vec x_{\rm final} \hat x - \vec x_{\rm initial} \hat x$что приводит к$\Delta x = x_{\rm final} - x_{\rm initial}$.
Еще раз обратите внимание, что$x_{\rm final}$и$x_{\rm initial}$являются компонентами в$\hat x$направление.

Работа, совершенная внешней силой, равна$\vec F_{\rm external} \cdot \Delta \vec x = F_{\rm external} \hat x\cdot \Delta x \hat x= F_{\rm external}\, \Delta x = F_{\rm external} (x_{\rm final} - x_{\rm initial})$.

В численном примере с растянутой пружиной$F_{\rm external} = 5\, \rm N$,$x_{\rm initial} = 1 \, \rm m$и$x_{\ rm final} = 3 \, \rm m$поэтому работа внешней силы равна$5(3-1)= +10 \,\rm J$а это увеличение упругой потенциальной энергии пружины.
Обратите внимание, что мы оценили$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F_{\rm external} \, dx$

Но эта формула работает и при уменьшении длины пружины.
На этот раз у вас есть$F_{\rm external} = 5\, \rm N$(направление внешней силы остается прежним),$x_{\rm initial} = 3 \, \rm m$и$x_{\rm final} = 1 \, \rm m$поэтому работа внешней силы равна$5(1-3)= -10 \,\rm J$т.е. совершается работа внешней силы и происходит уменьшение упругой потенциальной энергии пружины.
Мы снова оценили$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F_{\rm external} \, dx$

Рискуя повториться, я хотел бы показать, как работает использованный выше анализ, если принять во внимание работу, совершаемую силой, действующей на пружину.
В этом случае$\vec F_{\rm spring} = F_{\rm spring} \hat x$где$F_{\rm spring}$составляющая силы пружины$\vec F_{\rm spring}$в$\hat x$направление.

Работа, совершенная пружиной, равна$\vec F_{\rm spring} \cdot \Delta \vec x = F_{\rm spring}(x_{\rm final} - x_{\rm initial})$

В числовом примере$\vec F_{\rm spring} = -5 \hat x$а работа силы пружины, растягивающей пружину, оказывается равной$-10\, \rm J$а работа силы пружины при уменьшении длины пружины равна$-10\, \rm J$чего и следовало ожидать.

Теперь я попытаюсь объяснить, что было не так с методом, использованным ОП в случае, когда длина пружины уменьшилась.
Фактически сила пружин была записана как$- F\hat x$зная, что направление силы из-за пружины было в направлении, противоположном направлению$\hat x$.
Это сразу означает, что$F$положительный.

Перемещение было записано как$–\Delta x \hat x$в предположении, что длина пружины будет уменьшаться.
Если стоит знак минус, что это значит?$\Delta x$?
Он должен быть положительным !

ОП оценил$-F \hat x \cdot -\Delta x \hat x = F \Delta x = F (x_{\rm final} – x_{\rm initial})$используя этот интеграл$\displaystyle \int_ {x_{\rm initial}}^ {x_{\rm final}}F \, dx$с$x_{\rm final} < x_{\rm initial}$.
Использование этого интеграла с постоянной силой (для простоты) дает значение для$\Delta x= x_{\rm final} – x_{\rm initial}$что отрицательно , когда пружина сжимается.

Что было сделано, так это то, что, указав инкрементальное смещение как$-\Delta x \hat x$тогда подразумевается, что$x_{\rm final} > x_{\rm initial}$и все же, когда интеграл настроен$x_{\rm final}$был сделан меньше, чем$x_{\rm initial}$.

Разрешение этого противоречия довольно простое.

Если вы хотите оценить правильный интеграл при использовании$-dx$вы должны изменить порядок пределов, который эквивалентен$\displaystyle \int_b^a f(x) (-dx) = \int_a^b f(x) dx$

Обновление в качестве разъяснения, запрошенного ОП

Все еще с$\hat x$определяя направление, я хочу показать, что проделанная работа все еще

На этот раз с учетом работы, совершаемой пружиной при ее сжатии от$\vec x_{\rm initial} = -1 \hat x$к$\vec x_{\rm final}=-3 \hat x$с усилием пружины$\vec F_{\rm spring} = + 5 \hat x$

Работа сделана к весне

Знак минус означает, что над пружиной была совершена работа, т.е. упругий потенциал пружины увеличился.

В терминах интеграла имеем

Дальнейшее обновление в качестве разъяснения, запрошенного пользователем @user35508

Работа, совершаемая пружиной, равна$\displaystyle \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} \vec F_{\rm spring} \cdot d \vec x$так что нужно выражение для$\vec F_{\rm spring}$по смещению конца пружины$\vec x = x \hat x$и это

Это правильная форма силы, действующей на пружину, в том смысле, что когда пружина растягивается (x положителен), она оказывает силу в$-\hat x$направлении, и когда пружина сжата (x отрицательный), она оказывает усилие в$+\hat x$направление.

$\text{Work done by spring} = \displaystyle \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} \vec F_{\rm spring} \cdot d \vec x = \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} -kx\hat x \cdot dx \hat x = \int ^{x_{\rm final}}_{x_{\rm initial}} -kx \, dx = \frac 12 k\left (x_{\rm initial}^2 -x_{\rm final}^2\right )$

Например, если$x_{\rm initial} = -3$и$x_{\rm final} = 0$тогда это представляет собой сжатую пружину, растянувшуюся до своей естественной длины, и работа, совершаемая пружиной, положительна.

Это был мой оригинальный ответ

Пусть системой является пружина и существует внешняя переменная сила$F \hat x$действует на пружину в направлении$\hat x$.
Величина внешней силы равна$kx$где$x$является продолжением пружины.

Эта внешняя переменная сила испытывает смещение$dx \hat x$а работа внешней силы равна$F \hat x \cdot dx \hat x = F \, dx = kx \, dx$и это изменение упругой потенциальной энергии, запасенной в пружине.

Обратите внимание, что это уравнение верно, когда пружина становится длиннее, а также когда пружина становится короче.
Когда интегрирование выполнено, пределы интегрирования определяют, становится ли пружина длиннее или короче, т.е. дают правильный знак приростному изменению длины пружины.$dx$.

Работа внешней силы, увеличивающая длину пружины от ее естественной длины на$x$является

и это изменение упругой потенциальной энергии, запасенной в пружине.

Теперь сделайте то же самое снова, но начните весну с расширения.$x$и вернуться к своей естественной длине.

Работа, совершаемая внешней силой, теперь

и это опять-таки изменение упругой потенциальной энергии, запасенной в пружине.

Если учесть работу, совершаемую силой пружины$-kx \hat x$тогда эта работа равна минус изменение упругой потенциальной энергии, запасенной в пружине.

вы забываете, что «X» и «F» являются векторными величинами, поэтому они тоже имеют величину .... если вы решите интеграл, помня об этом, и рассчитаете интеграл для расчета проделанной работы .... ваш вопрос решен

мне кажется вы путаете отношения$\vec F$должен$\vec x$с$dx$. Сила пружины определяется законом Гука:$\vec F = -k \vec x$. Это не имеет никакого отношения к$dx$.Например:

1. Одномерная пружина растягивается из$x_1$к$x_2$и$x_2 > x_1 > 0$. Затем$W = \int_{x_1}^{x_2} F dx < 0$потому что:
   • $x > 0$по всему интегралу
   • $F < 0$через интеграл, так как$F = - k x$
   • $dx > 0$так как верхний предел больше нижнего предела интегрирования.
2. Одномерная пружина расслабляется из$x_2$к$x_1$и$x_2 > x_1 > 0$. Затем$W = \int_{x_2}^{x_1} F dx > 0$потому что:
   • $x > 0$по всему интегралу
   • $F < 0$через интеграл, так как$F = - k x$
   • $dx < 0$так как нижний предел больше верхнего предела интегрирования.

Таким образом, вы можете видеть знак интегральных переворотов, потому что пределы переключились;$F$ однако никогда не менял направление, так как оно полностью связано с текущим значением$x$, а не направление интегрирования$dx$.