Вычисление векторной двухточечной функции КХД

Давайте начнем с

$$\langle\Omega|T\{j_{\mu}(x)j_{\nu}(0)\}|\Omega\rangle=\langle\Omega|T\{[\bar{q}(x)\gamma_{\mu}q(x)][\bar{q}(0)\gamma^{\mu}q(0)]\}|\Omega\rangle=$$

$$=\langle\Omega|T\{\bar{q}(x)_a^i(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\}|\Omega\rangle=\ldots$$

где я сделал$i,j,k,l$спинорные индексы и$a,b$цветовые индексы явные. Переупорядочив это, мы можем написать

$$=\langle\Omega|T\{(\gamma^{ij})_{\mu}q(x)_a^j\bar{q}(0)_b^k(\gamma^{kl})^{\mu}q(0)_b^l\bar{q}(x)_a^i\}|\Omega\rangle=\ldots$$

мы будем работать только с первым порядком теории возмущений. Затем мы сохраняем тождество только из расширения гамильтониана взаимодействия и, сжимая соседние кварковые поля, чтобы получить связанные диаграммы, получаем

$$\ldots=(\gamma^{ij})_{\mu}S(x)_{ab}^{jk}(\gamma^{kl})^{\mu}S(-x)_{ba}^{li}=N_CTr[\gamma_{\mu}S(x)\gamma^{\mu}S(-x)]$$

где$S$является свободным фермионным пропагатором, и мы взяли трассировку по индексам цвета, получив$N_C$. Подставив это в наше исходное выражение и изменив порядок матриц внутри трасс, воспользовавшись циклическим характером трасс, которые мы получаем

$$\frac{-iN_c\mu^{2\epsilon}}{(d-1)q^2}\int{}d^dx\,{}e^ {iqx}Tr[S(x)\gamma_{\mu}S(-x)\gamma^{\mu}]$$