Коммутатор безмассового скалярного поля

Question

Коммутатор безмассового скалярного поля

Физика
распространитель
зеленые функции
квантовая теория поля
корреляционные функции
домашнее задание и упражнения

CStarАлгебра

Привет, я пытаюсь рассчитать $\langle 0|[\phi(x),\phi(0)]|0\rangle$ где $\phi (x)$ — свободное безмассовое скалярное поле.

я вычислил

⟨ 0 | ф (Икс) ф (0) | 0 ⟩ "=" \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{({Икс}_{0} - я ϵ)^{2} - (\vec{Икс})^{2}}

$\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle = \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2}$ где

x = (x_{0}, \vec{x})

$x = (x_0, \vec x)$ и я использую (+, -, -, -) подпись.

Я запутался в вычислении коммутатора. Если я попытаюсь вычислить это, я получу что-то вроде

\frac{я ϵ}{4 π^{2}} \frac{1}{(({Икс}_{0} - я ϵ)^{2} - (\vec{Икс})^{2}) ((- {Икс}_{0} - я ϵ)^{2} - (\vec{Икс})^{2})},

$\frac{i\epsilon}{4\pi^2}\frac{1}{((x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2)((-x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2) },$ где я отбросил термины

O (ϵ^{2})

$O(\epsilon^2)$ .

Я не вижу, чтобы это упростилось до чего-то значимого или простого, и как я могу получить 0, когда $x$ является космоподобным. Кто-нибудь может предложить какую-либо помощь?

МКФ

Знаете ли вы о свойствах пропагатора? одна вещь, которую я должен упомянуть в качестве начала, это то, что вы должны получить интеграл для

⟨ 0 | ϕ (x) ϕ (0) | 0 ⟩

$\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (который является распространителем)

CStarАлгебра

Я уже вычислил пропагатор, он указан выше, и я знаю, что он правильный. Я спрашиваю, как вычислить коммутатор.

Вальтер Моретти

Значение expecration коммутатора называется причинным пропагатором , поэтому вы вычисляете причинный пропагатор. В силу причинных свойств его опора сосредоточена внутри светового конуса. Поскольку поле безмассово, его носитель сосредоточен именно на этом конусе (его поверхности). Вы должны найти его из своих вычислений.

Вальтер Моретти

Попробуй использовать

1 / (z \pm i 0_{+}) = v p 1 / z \mp i π δ (z)

$1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$

CStarАлгебра

@ValterMoretti В итоге я упростил это до

< 0 | [ϕ (x), ϕ (0)] | 0 >= \frac{ϵ}{(x^{2})^{2}}

$<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Это имеет физический смысл, поскольку оно равно 0, если только x ^ 2 не равно нулю, что должно быть для безмассовой частицы. Но я не уверен в своем знаменателе. Кроме того, как мне использовать выражение основного значения, которое вы опубликовали с помощью

\frac{1}{(z - i ϵ)^{2} - y^{2}}

$\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?

Вальтер Моретти

@CStarAlgebra Смотрите мой ответ, где я выполнил все вычисления до окончательного выражения...

Ответы (1)

Коммутатор безмассового скалярного поля

Знаете ли вы о свойствах пропагатора? одна вещь, которую я должен упомянуть в качестве начала, это то, что вы должны получить интеграл для $\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (который является распространителем)
Я уже вычислил пропагатор, он указан выше, и я знаю, что он правильный. Я спрашиваю, как вычислить коммутатор.
Значение expecration коммутатора называется причинным пропагатором , поэтому вы вычисляете причинный пропагатор. В силу причинных свойств его опора сосредоточена внутри светового конуса. Поскольку поле безмассово, его носитель сосредоточен именно на этом конусе (его поверхности). Вы должны найти его из своих вычислений.
Попробуй использовать $1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$
@ValterMoretti В итоге я упростил это до $<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Это имеет физический смысл, поскольку оно равно 0, если только x ^ 2 не равно нулю, что должно быть для безмассовой частицы. Но я не уверен в своем знаменателе. Кроме того, как мне использовать выражение основного значения, которое вы опубликовали с помощью $\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?
@CStarAlgebra Смотрите мой ответ, где я выполнил все вычисления до окончательного выражения...

Вальтер Моретти · Answer 1

\begin{aligned} ⟨ 0 | ф (Икс) ф (0) | 0 ⟩ & "=" \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{({Икс}_{0} - я 0_{+})^{2} - (\vec{Икс})^{2}} \\ "=" \frac{1}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (\frac{1}{({Икс}_{0} - я 0_{+}) - | \vec{Икс} |} - \frac{1}{({Икс}_{0} - я 0_{+}) + | \vec{Икс} |}), \end{aligned}

$\begin{align}\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i0_+)^2 - (\vec x)^2} \\ &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{(x_0 - i0_+) - |\vec x|} - \frac{1}{(x_0 - i0_+) + |\vec x|}\right)\:,\end{align}$ то есть

\begin{aligned} ⟨ 0 | ф (Икс) ф (0) | 0 ⟩ & "=" \frac{1}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (\frac{1}{{Икс}_{0} - | \vec{Икс} | - я 0_{+}} - \frac{1}{{Икс}_{0} + | \vec{Икс} | - я 0_{+}}) \\ "=" \frac{1}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (п В \frac{1}{{Икс}_{0} - | \vec{Икс} |} - п В \frac{1}{{Икс}_{0} + | \vec{Икс} |}) + \frac{π я}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (дельта ({Икс}_{0} - | \vec{Икс} |) - дельта ({Икс}_{0} + | \vec{Икс} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{x_0 - |\vec x| - i0_+ } - \frac{1}{x_0 + |\vec x|- i0_+ }\right)\\ & = \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 - |\vec x| )- \delta(x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$ Сходным образом

\begin{aligned} ⟨ 0 | ф (0) ф (Икс) | 0 ⟩ & "=" \frac{1}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (п В \frac{1}{- {Икс}_{0} - | \vec{Икс} |} - п В \frac{1}{- {Икс}_{0} + | \vec{Икс} |}) + \frac{π я}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (дельта (- {Икс}_{0} - | \vec{Икс} |) - дельта (- {Икс}_{0} + | \vec{Икс} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (0) \phi (x)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{-x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{-x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(-x_0 - |\vec x| )- \delta(-x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$

Взяв разницу, используя $PV1/(-z) = -PV 1/z$ и $\delta(z)=\delta(-z)$ , у нас есть выражение для каузального пропагатора, подобное этому

\begin{matrix} (1) & ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (0)] | 0 ⟩ "=" \frac{2 π я}{8 π^{2} | \vec{Икс} |} (дельта ({Икс}_{0} + | \vec{Икс} |) - дельта ({Икс}_{0} - | \vec{Икс} |)) . \end{matrix}

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{2\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 + |\vec x| )- \delta(x_0 - |\vec x| )\right)\:.\tag{1}$ С использованием

\begin{matrix} (2) & дельта (ф (Икс)) "=" \sum_{я} \frac{дельта (Икс - {Икс}_{я})}{| \frac{д ф}{д Икс} |_{{Икс}_{я}} |} \end{matrix}

$\delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x-x_i)}{\left|\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\bigg |_{x_i}\right|}\tag{2}$ где

x_{i}

$x_i$ являются различными простыми нулями

f

$f$ , найденное тождество можно преобразовать в форму

⟨ 0 | [ф (Икс), ф (0)] | 0 ⟩ "=" - \frac{4 π я}{8 π^{2}} знак ({Икс}_{0}) дельта ({Икс}_{0}^{2} - (\vec{Икс})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = -\frac{4\pi i}{8\pi^2} \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ За исключением неправильных коэффициентов (пожалуйста, проверьте все!), окончательный результат должен быть

⟨ 0 | [ф (Икс), ф (0)] | 0 ⟩ "=" \frac{1}{2 π я} знак ({Икс}_{0}) дельта ({Икс}_{0}^{2} - (\vec{Икс})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{1}{2\pi i } \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ Очевидно, что правая часть обращается в нуль для пространственноподобных аргументов каузального пропагатора. Однако он также исчезает для времениподобных аргументов! Это особенность свободных безмассовых теорий в плоском пространстве-времени.

Спасибо @ValterMoretti, один вопрос, откуда взялась функция sgn?
Оно возникает при сравнении (1) и (2). Я исправил общий неправильный знак.

Коммутатор безмассового скалярного поля

CStarАлгебра

МКФ

CStarАлгебра

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

CStarАлгебра

Вальтер Моретти

Ответы (1)

Вальтер Моретти

CStarАлгебра

Вальтер Моретти

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Физическая интерпретация запаздывающих и фейнмановских пропагаторов?

Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?

Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции

Два определения функции Грина

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Как получить функцию Грина для −∇2+m2−∇2+m2-\nabla^2 + m^2 в измерениях ddd?

Пропагатор из интеграла по путям