Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3

Я пытаюсь оценить схему ф 3 теории, чтобы практиковать амплитуды с одной петлей, но я застрял в определенном месте. Амплитуда дается интегралом,

М "=" ( − я г ) 2 2 ∫ г 4 к ( 2 π ) 4 я к 2 − м 2 я ( к − п ) 2 − м 2

где 1 / 2 является фактором симметрии. Используя параметризацию Фейнмана, я смог записать это в виде

г 2 2 ∫ 0 1 г Икс ∫ г г ℓ ( 2 π ) г 1 [ ℓ 2 − Δ ] 2

где Δ ≡ м 2 + п 2 Икс ( Икс − 1 ) , сдвигающие импульсы ℓ "=" к − п Икс . Квадрат я тоже выполнил, а на произвольную пошел г размеры. Используя формулу, представленную в приложении Пескина и Шредера (версия без вращения Вика), я обнаружил,

"=" я г 2 4 Г ( 2 − г / 2 ) ( 4 π ) г / 2 ∫ 0 1 г Икс 1 [ м 2 + п 2 Икс ( Икс − 1 ) ] 2 − г / 2

Если я оцениваю г Икс интеграл в Mathematica я получаю ужасное выражение с гипергеометрическими функциями. Я не помню, чтобы видел это в других амплитудах петли, это должно быть относительно простое выражение. Как мне поступить? Я где-то ошибся?

Кстати, это не схема головастика. Этот называется пузырьком. Головастик похож на леденец.

Ответы (1)

Я думаю, что вы все сделали правильно до сих пор. Теперь, хотя интеграл был бы совершенно конечным в г "=" 4 (которое, как я предполагаю, является измерением, в котором вы хотите получить результат), Г ( 0 ) "=" ∞ .

Поэтому мы расширяем я "=" Г ( 2 − г / 2 ) [ м 2 + п 2 Икс ( Икс − 1 ) ] г / 2 − 2 вокруг г "=" 4 а затем сделать интеграцию. я на самом деле заменил г → 4 − 2 ϵ и расширился вокруг ϵ "=" 0 .

Тогда результат расходится, а именно

я "=" ∫ 0 1 г Икс   я "=" 1 ϵ + 2 − γ Е − 2 г арктический ⁡ г − бревно ⁡ м 2   ,

где г "=" п 4 м 2 − п 2 и γ Е – постоянная Эйлера-Маскерони. Для п 2 > 4 м 2 мы можем использовать тождество арктический ⁡ г "=" 1 2 я бревно ⁡ 1 + я г 1 − я г выразить арктический .

Я надеюсь, что это поможет вам продолжить расчет.

Однопетлевая диаграмма ϕ→ϕϕ→ϕ\phi \to \phi в теории gϕ3gϕ3g\phi^3
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v