Доказательство квантовых корреляционных функций

Я читаю записи лекций Дэвида Тонга по QFT.

На страницах 76-77 он приводит доказательство корреляционных функций. См. ссылку ниже:

Примечания QFT Тонга

Я следую шагам доказательства, чтобы получить уравнение (3.95). Но неясны некоторые промежуточные шаги доказательства.

Первый вопрос

Почему мы можем писать

Т ф 1 я … ф н я С "=" U я ( + ∞ , т 1 ) ф 1 я U ( т 1 , т 2 ) ф 2 я … ф н я U я ( т н , − ∞ )     ?

Я имею в виду, после сброса Т , разве у нас не должно быть

"=" ф 1 я ф 2 я … ф н я С
"=" ф 1 я ф 2 я … ф н я U я ( + ∞ , − ∞ )     ?

Делает Т относятся к ф 1 … ф н только, или к ф 1 … ф н я С и

U я ( + ∞ , − ∞ ) "=" U я ( + ∞ , т 1 ) U я ( т 1 , т 2 ) … U я ( т н , − ∞ )     ?

Второй вопрос

Как мы преобразуем каждый из ф я в ф ЧАС с использованием

U я ( т к , т к + 1 ) "=" Т е Икс п ( − я ∫ т к т к + 1 ЧАС я )
прийти к

Т ф 1 я … ф н я С "=" U я ( + ∞ , т 0 ) ф 1 ЧАС … ф н ЧАС U я ( т 0 , − ∞ )     ?

Третий вопрос

Почему у нас есть

U я ( т , − ∞ ) "=" U ( т , − ∞ )     ?

Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/2041503/11127

Ответы (1)

Первый вопрос

Используя это С "=" U я ( + ∞ , − ∞ ) "=" U я ( + ∞ , т 1 ) U я ( т 1 , т 2 ) ⋯ U я ( т н , − ∞ ) , как вы утверждаете, у вас есть это

Т ф 1 я ф 2 я ⋯ ф н я С "=" Т ф 1 я ф 2 я ⋯ ф н я U я ( + ∞ , т 1 ) U я ( т 1 , т 2 ) ⋯ U я ( т н , − ∞ ) "=" U я ( + ∞ , т 1 ) ф 1 я U я ( т 1 , т 2 ) ф 2 я ⋯ ф н я U я ( т н , − ∞ ) ,
где второе равенство дается определением временного порядка.

Второй вопрос

Выбор операторов в картине взаимодействия и картине Гейзенберга равными в некоторый момент времени т 0 , у нас есть это ф к я "=" U ( т 0 , т к ) − 1 ф к ЧАС U я ( т 0 , т к ) . Подставляя результат для предыдущего вопроса:

Т ф 1 я ф 2 я ⋯ ф н я С "=" U я ( + ∞ , т 1 ) U ( т 0 , т 1 ) − 1 ф 1 ЧАС U я ( т 0 , т 1 ) U я ( т 1 , т 2 ) U ( т 0 , т 2 ) − 1 ф 2 ЧАС U я ( т 0 , т 2 ) ⋯ U ( т 0 , т н ) − 1 ф н ЧАС U я ( т 0 , т н ) U я ( т н , − ∞ ) "=" U я ( + ∞ , т 0 ) ф 1 ЧАС ф 2 ЧАС ⋯ ф н ЧАС U я ( т 0 , − ∞ )

Третий вопрос

Обратите внимание, что Тонг не говорит, что U я ( т , − ∞ ) "=" U ( т , − ∞ ) , но это для любого | Ψ ⟩ , у нас есть ⟨ Ψ | U я ( т , − ∞ ) | 0 ⟩ "=" ⟨ Ψ | U ( т , − ∞ ) | 0 ⟩ . Это утверждение эквивалентно

U я ( т , − ∞ ) | 0 ⟩ "=" U ( т , − ∞ ) | 0 ⟩
По определению | 0 ⟩ является собственным вектором ЧАС 0 с собственным значением 0 , так
ЧАС я | 0 ⟩ "=" ЧАС я е я ЧАС 0 т | 0 ⟩ "=" ЧАС я | 0 ⟩ я "=" я г г т | 0 ⟩ я "=" я г г т ( е я ЧАС 0 т | 0 ⟩ ) "=" я г г т | 0 ⟩ "=" ЧАС | 0 ⟩ .
Таким образом, эволюция картины взаимодействия во времени U я ( т , − ∞ ) (полученный возведением в степень интеграла от ЧАС я ) и эволюция изображения Шредингера во времени U ( т , − ∞ ) (экспонента интеграла от ЧАС ) одинаковы при применении к | 0 ⟩ .

Я хотел бы отметить, что ваши первое и второе уравнения нетривиальны (в отличие от того, что вы могли бы предложить). С одной стороны, определение Т для совпадающих временных аргументов есть много тонкостей. Кроме того, вы не можете использовать U ( т 1 , т 2 ) U ( т 2 , т 3 ) "=" U ( т 1 , т 3 ) внутри Т символ (по крайней мере, не без надлежащего обоснования путем анализа различных перестановок и т. д.).
Хм... может быть, я слишком наивен. Я попытался объяснить идеи в тексте доказательства в ссылке (которая говорит еще меньше). Я надеюсь, что мой ответ показывает путь, но, возможно, он должен был быть намного более подробным. Думаю, я добавлю небольшой абзац в начале, объясняющий это.
То, что вы написали, довольно стандартно: вы можете найти то же самое (ИМХО, наивное) обращение в большинстве вводных книг по КТП. В этом смысле ваш пост мне подходит, но я просто хотел указать, что, строго говоря, все не так просто, если вы хотите формализовать теорию.
Ты прав. Я оставлю все как есть и дам людям знать об этих тонкостях, прочитав ваш комментарий.
Спасибо за ваше время. Вы обсуждаете здесь, как упорядочить время ф 1 я U я ( т 1 , т 2 ) или U я ( т 1 , т 2 ) ф 1 я ?
@VictorVMotti Я думаю, что по «определению Т для совпадающих временных аргументов имеет много тонкостей». AccidentalFourierTransform означает такого рода проблемы. Размахивая руками, я бы сказал, что операторы ЧАС я которые появляются в интегралах внутри U я ( т 1 , т 2 ) оцениваются в промежутках между т 1 и т 2 и поэтому они должны быть справа от ф 1 я .
@кокос. Я вижу, большое спасибо. Кстати, где в своем ответе вы использовали уравнение Тонга, приведенное в тексте моего вопроса: U я ( т к , т к + 1 ) "=" Т е Икс п ( − я ∫ т к т к + 1 ЧАС я ) ?
Доказательство квантовых корреляционных функций
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v