«Вывод» калибровочного условия Лоренца из лагранжиана

Я изучаю КТП с Мандлом и Шоу, квантовую теорию поля и столкнулся с проблемой 2.3 (стр. 37 во втором издании), в которой говорится:

Задача 2.3. Показать, что плотность лагранжиана

$$\mathscr{L} = -\frac{1}{2}\big[\partial_\alpha\phi_\beta(x)\big]\big[\partial^\alpha\phi^\beta(x)\big] + \frac{1}{2}\big[\partial_\alpha\phi^\alpha(x)\big]\big[\partial_\beta\phi^\beta(x)\big] + \frac{\mu^2}{2}\phi_\alpha(x)\phi^\alpha(x)$$

для вещественного векторного поля$\phi^\alpha(x)$приводит к уравнениям поля

$$\left[g_{\alpha\beta}\left(\Box+\mu^2\right) - \partial_\alpha\partial_\beta\right] \phi^\beta(x) = 0$$

и что поле$\phi^\alpha(x)$удовлетворяет условию Лоренца

$$\partial_\alpha \phi^\alpha(x) = 0.$$

Я сделал первую часть, но не уверен, как подойти ко второй части --- вывести условие калибровки Лоренца. Теперь я знаю, как получить оба результата.

Однако, почему/как это возможно ? Лагранжиан очень похож на лагранжиан Клейна-Гордона для каждой компоненты поля, за исключением второго члена. Однако, если условие Лоренца действительно можно вывести из данного лагранжиана, второй член будет тождественно равен нулю, и лагранжиан полностью сведется к лагранжиану Клейна-Гордона для каждой компоненты. Тогда в чем смысл второго члена в лагранжиане с самого начала? Его вклад в уравнение движения также будет тождественно нулевым, если выполняется условие Лоренца.

Можно ли здесь изучить содержательную физическую интерпретацию?