Плотность гамильтониана классического поля Клейна-Гордона

Я работаю над разделом 2.2 Пескина и Шредера и пытаюсь показать, что Т 00 эквивалентно выражению 1 2 π 2 − 1 2 ( ∇ ф ) 2 − 1 2 м 2 ф 2 в уравнении (2.8), как это предполагает.

От Т ν мю "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) ∂ ν − л дельта ν мю , Я получил:

Т ν мю "=" 1 2 ∂ мю ф ∂ ν ф − л дельта ν мю

и оттуда:

Т 00 "=" Т 0 0 "=" 1 2 ∂ 0 ф ∂ 0 ф − л дельта 0 0 "=" 1 2 ф ˙ 2 − 1 2 [ ∂ 0 ф 2 − ∂ 1 ф 2 − ∂ 2 ф 2 − ∂ 3 ф 2 ] + 1 2 м 2 ф 2

Кажется, у меня есть лишний − 1 2 ф ˙ 2 в моем результате. Я где-то ошибся?

Ответы (1)

Лагранжиан, с которым вы имеете дело, л "=" 1 2 ( ∂ мю ф ) 2 − 1 2 м 2 ф 2 . Когда вы берете частичное по отношению к ∂ мю ф , вы должны получать 2 * ( 1 2 ∂ мю ф ) . Это сделает первый член в вашем выражении ф ˙ 2 вместо 1 2 ф ˙ 2 и дело пойдет.

Если вы заметили, что в следующих нескольких строках он пишет выражение для Т 0 я . Это выражение не имеет 1 2 термин перед ним либо.

Тогда оба фактора в ∂ мю ф ∂ мю ф оба обрабатываются так, как если бы у них был более низкий индекс, когда вы делаете производную? Это хорошо, но теперь мне менее очевидно, почему в конце концов вы получаете верхний индекс.
∂ мю ф ∂ мю ф является безындексной величиной. Когда вы затем делите или берете производную по нижнему индексу, она становится верхним индексом. Я думаю, что то, что я цитировал, на самом деле нетривиально для вывода, но я не знаком с цепным правилом, когда дело доходит до индексов, поэтому не могу точно сказать, так или иначе. Если переписать как г мю в ∂ мю ф ∂ в ф Кажется, это имеет смысл.
О да. Запись этого с помощью метрики делает его более очевидным. Спасибо.
Плотность гамильтониана классического поля Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v