Вывод лагранжиана для свободной частицы

1. В физике часто неявно предполагается, что лагранжиан$L=L(\vec{q},\vec{v},t)$гладко зависит от (обобщенных) положений$q^i$, скорости$v^i$, и время$t$, т. е. что лагранжиан$L$является дифференцируемой функцией. Предположим теперь, что лагранжиан имеет вид

   $$L~=~\ell\left(v^2\right),\qquad\qquad v~:=~|\vec{v}|,\tag{1}$$ куда$\ell$является дифференцируемой функцией. Уравнения движения (еом) становятся $$\vec{0}~=~\frac{\partial L}{\partial \vec{q}} ~\approx~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \vec{v}} ~=~\frac{\mathrm d }{\mathrm dt} \left(2\vec{v}~\ell^{\prime}\right) ~=~2\vec{a}~\ell^{\prime}+4\vec{v}~(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime}.\tag{2}$$ (Здесь$\approx$означает равенство по модулю eom.) Если$\ell$является постоянной функцией, еом становится тривиальным тождеством$\vec{0}\equiv \vec{0}$. Это неприемлемо. Поэтому будем считать впредь, что$\ell$не является постоянной функцией. Это означает, что в целом$\ell^{\prime}$не равен нулю. Делаем вывод из ур. (2) что на корпусе $$\vec{a} \parallel \vec{v},\tag{3}$$ то есть векторы$\vec{a}$а также$\vec{v}$линейно зависят от оболочки. (Слова на-оболочке и вне-оболочки относятся к тому, выполняется ли eom или нет.) Поэтому, взяв длину с обеих сторон вектора eq. (2), мы получаем $$0~\approx~2a(\ell^{\prime}+2v^2\ell^{\prime\prime}),\qquad\qquad a~:=~|\vec{a}|.\tag{4}$$ Это имеет две ветви. Первая ветка - нет разгона, $$\qquad \vec{a}~\approx~\vec{0},\tag{5}$$ или, что то же самое, постоянная скорость. Вторая ветвь накладывает условие на скорость$v$, $$\ell^{\prime}+2v^2\ell^{\prime\prime}~\approx~0.\tag{6}$$ Чтобы серьезно отнестись ко второй ветви (6), мы должны потребовать, чтобы она работала на всех скоростях.$v$, а не только для нескольких изолированных скоростей$v$. Отсюда ур. (6) становится ОДУ 2-го порядка для$\ell$функция. Полное решение - это именно контрпример OP. $$L~=~ \ell\left(v^2\right)~=~\alpha \sqrt{v^2}+\beta~=~\alpha v+\beta,\tag{7}$$ куда$\alpha$а также$\beta$две константы интегрирования. Это дифференцируемо относительно. скорость$v=|\vec{v}|$, но он не дифференцируем по отношению. скорость$\vec{v}$в$\vec{v}=\vec{0}$если$\alpha\neq 0$. Поэтому вторая ветвь (6) отбрасывается. Таким образом, eom является стандартной первой ветвью (5).$\Box$

2. Во-первых, определение инвариантности формы обсуждается в этом посте Phys.SE. Конкретно, Ландау и Лифшиц под инвариантностью формы понимают, что если лагранжиан

   $$L~=~\ell\left(v^2\right)\tag{8}$$ в рамке$K$, так должно быть $$L^\prime~=~\ell\left(v^{\prime 2}\right)\tag{9}$$ в рамке$K^{\prime}$. Здесь $$\vec{v}^{\prime }~=~\vec{v}+\vec{\epsilon}\tag{10}$$ является преобразованием Галилея .

   Во-вторых, OP спрашивает, добавляет ли полная производная по времени к лагранжиану

   $$L ~\longrightarrow~ L+\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\tag{11}$$ это единственное, что не изменило бы еом? Нет, например, масштабирование лагранжиана $$L ~\longrightarrow~ \alpha L\tag{12}$$ с общим коэффициентом$\alpha$также оставляет eom без изменений. См. также Викиучебники . Однако мы уже знаем, что все лагранжианы вида (8) и (9) приводят к одному и тому же eom (5). (Напомним, что ускорение является абсолютным понятием при преобразованиях Галилея.)

   Вместо этого я интерпретирую аргумент Ландау и Лифшица как то, что они хотят явным образом реализовать галилеевскую инвариантность посредством теоремы Нётер , требуя, чтобы (бесконечно малая) замена

   $$\Delta L~:=~L^\prime-L ~=~2(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon})\ell^{\prime} \tag{13}$$ лагранжиана всегда является полной производной по времени $$\Delta L~=~\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\tag{14}$$ даже вне оболочки.

   Вопрос: В общем, как мы узнаем/правильно определяем, является ли выражение$\Delta L$является полной производной по времени (14) или нет?

   Пример: выражение$q^2 +2t\vec{q}\cdot \vec{v}$оказывается полной производной по времени, но на первый взгляд этот факт легко не заметить. Урок состоит в том, что нужно быть очень осторожным, утверждая, что полная производная по времени должна иметь такую-то и такую-то форму. Легко упустить возможности.

   Что ж, один верный (хотя, по общему признанию, немного неуклюжий) тест состоит в том, чтобы применить оператор Эйлера-Лагранжа к выражению (13) и проверить, тождественно ли оно равно нулю вне оболочки или нет. (Забавно, но этот тест на самом деле оказывается и необходимым, и достаточным условием, но это уже другая история .) Мы вычисляем:

   $$\begin{align} \vec{0} &~=~ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial \Delta L}{\partial \vec{v}} -\frac{\partial \Delta L}{\partial \vec{q}} \\ &~=~4\vec{\epsilon}~(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime} +4\vec{v}~(\vec{a}\cdot\vec{\epsilon}) \ell^{\prime\prime} +4\vec{a}~(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon}) \ell^{\prime\prime} +8\vec{v}~(\vec{v}\cdot\vec{\epsilon})(\vec{a}\cdot\vec{v}) \ell^{\prime\prime\prime}. \tag{15}\end{align}$$ Поскольку ур. (15) должно выполняться для любой конфигурации вне оболочки, мы можем, например, выбрать $$\vec{a}~\parallel~\vec{v}~\perp~\vec{\epsilon}.\tag{16}$$ Тогда ур. (15) сводится к $$\vec{0}~=~ 4\vec{\epsilon} ~(\pm a v) \ell^{\prime\prime}. \tag{17}$$ Мы можем предположить, что$\vec{\epsilon}\neq\vec{0}$. Произвольность$a$а также$v$подразумевает, что $$\ell^{\prime\prime}~=~0.\tag{18}$$ (Обратно, легко проверить, что из уравнения (18) следует уравнение (15).) Полное решение уравнения. (18) — стандартный нерелятивистский лагранжиан для свободной частицы, $$L~=~ \ell\left(v^2\right)~=~\alpha v^2+\beta, \tag{19}$$ куда$\alpha$а также$\beta$две константы интегрирования. уравнение (19) является основным результатом. В качестве альтернативы основной результат (19) следует непосредственно из следующей леммы.

   Лемма: если$F(\vec{q}, \vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots, t)$в уравнении (14) является локальной функцией , и если$\Delta L(\vec{q}, \vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots, t)$не зависит от старших производных по времени$\vec{a}$,$\vec{j}$,$\ldots$, тогда$F$не может не зависеть от производных по времени$\vec{v}, \vec{a}, \vec{j}, \ldots$. Это, в свою очередь, подразумевает, что$\Delta L(\vec{q}, \vec{v}, t)$является аффинной функцией$\vec{v}$.

   Мы оставляем доказательство леммы в качестве упражнения читателю.

   Лемма и уравнение (13) получаем, что$\ell^{\prime}$не зависит от$\vec{v}$, что снова приводит к основному результату (19).$\Box$

3. Для получения дополнительной информации о галилеевой инвариантности см. также этот пост Phys.SE.

Ответ Qmechanic хорош, и я хочу только прокомментировать (но не могу) две небольшие ошибки в логике вывода для первой части, но которые не влияют на окончательный ответ.

Из$(2)$Мы видим, что$\vec{a} \approx \vec{0}$решает уравнение. Теперь, если предположить , что$\vec{a} \neq \vec{0}$, то получаем утверждение, что в оболочке$\vec{a} ~||~ \vec{v}$. В конце концов, нет понятия «параллельности» векторов, если один из них является нулевым вектором.

Следующее утверждение не получается, если взять длину с обеих сторон уравнения. Это потому, что мы не знаем,$|\vec{x} + \vec{y} | = |\vec{x}|+|\vec{y}|$или же$|\vec{x}|-|\vec{y}|$. В первом случае два вектора указывают в одном направлении, а во втором — когда они указывают в противоположных направлениях.

Вместо этого точка с$\vec{v}$. Тогда человек получает

Надеюсь, это было полезно :)

Также Qmechanic дал правильный ответ, я считаю, что он перегружен, потому что на самом деле нет необходимости использовать уравнения движения (уравнения Эйлера-Лагранжа), чтобы ответить хотя бы на вторую часть вопроса ОП.

На самом деле вы можете просто обобщить оригинальный подход Ландау к этому вопросу для ответа, поэтому я упомяну его здесь подробно:

Предположим, что$L\left(\vec{v}^{2n}\right)$($2n$должен иметь скалярное значение) является лагранжианом свободной частицы в инерциальной системе отсчета$K$. предположим другую инерциальную систему отсчета$K'$который движется относительно$K$с бесконечно малой скоростью$\vec{\varepsilon}$, лагранжиан$L'=L\left[\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}\right]$в$K'$которое описывает частицу, должно быть таким же лагранжианом, как и в$K$вплоть до полной производной по времени.

Чтобы показать это, мы расширим$\left(\vec{v}+\vec{\varepsilon}\right)^{2n}$в первом порядке$\vec{\varepsilon}$, чтобы найти его, предположим сначала, что$n=1$, тогда: