Понимание вложения Фудзитани-Икэда-Мацумото

Кажется, я все-таки нашел ответ на вопрос, или хотя бы частично.

Рассмотрим временной интервал метрики$t=const.,\theta=\pi/2$(с$R=2M$):

$$ds^2=(1-2M/r)^{-1}\left(\frac{4r^{4}-4r^{3}M-4M^{2}}{4r^{4}}\right)dr^{2}+r^{2}d\phi^{2}=\frac{dr^{2}}{\rho(r)}+r^{2}d\phi^{2}\tag{1}$$

Это можно представить как плоскую плоскость,$z=0$, в цилиндрических координатах. Разумеется, метрика описывает геометрию гравитирующего объекта ненулевой массы, т.е.$M(r)≠0$, следовательно, мы можем считать, что метрика описывает заданную поверхность вращения$z=z(r)$, с$\phi$составляющая цилиндрических координат, имеющая диапазон$0<\phi≤2\pi$. Метрика такой поверхности, вложенной в трех измерениях, описывается следующей метрикой:

$$ds^{2}=dz^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}=\left[\left(\frac{dz}{dr}\right)+1\right]^{2}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}\tag{2}$$

Сравнение$(1)$и$(2)$, у нас есть:

$$\left[\left(\frac{dz}{dr}\right)+1\right]=\rho(r)^{-1}=(1-2M/r)^{-1}\left(\frac{4r^{4}-4r^{3}M-4M^{2}}{4r^{4}}\right)\tag{3}$$ Теперь мы можем интегрировать $(3)$, (после приближения) следующим образом:

$$z(r)=\int_{0}^{r}\frac{-M(\frac{M}{2}-r^{3})}{M^{2}+\frac{r^{3}(M-r)}{2}}dr=-M \sum_{\omega:-\omega^{4}+M\omega^{3}+2M^{2}=0}\frac{M log(-\omega +r)-2\omega^{3}log(-\omega+r)}{-4\omega^{3}+3M\omega^{2}}\tag{4}$$

Принимая разложение в ряд (обобщенное разложение Пюизе), получаем выражение:

$$-2Mlog(r)+\frac{2M^{2}}{r}+\frac{3M^{3}+M^{2}(2M^{2}-1)}{3r^{3}}+\frac{M^{3}(2M^{2}+3)}{4r^{4}}+\frac{M^{4}(2M^{2}+7)}{5r^{5}}+O\left(\frac{1}{r}\right)^{6}\tag{5}$$ Параметр $M=1$, для простоты и выполнения 3D-параметрического графика получаем графики для нижней и верхней половин следующим образом:

Расчеты здесь и здесь . Выполняя описанные выше действия для метрики Шварцшильда, мы получили бы уравнения, аналогичные уравнениям$(1),(2)$,&$(3)$, но окончательное интегрированное значение получается:$z(r)=\sqrt{8M(r-2M)}$. Таким образом, временной срез метрики Шварцшильда есть не что иное, как поверхность четвертой степени, определяемая уравнением:

$$x^{2}+y^{2}=\left(\frac{z^{2}}{8M}+2M\right)^{2}\tag{6}$$

которое вложено в трехмерное евклидово пространство с декартовыми координатами$(x,y,z)$. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующие преобразования координат:$x=rcosϕ,y=rsinϕ$, и$z=√(8M(r-2M))$. Применяя эти преобразования к трехмерной евклидовой метрике:$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$, мы возвращаем метрику Шварцшильда. Выполняя 3D-параметрические графики, получаем:

Расчеты здесь и здесь . Сюжеты кажутся очень похожими и, вероятно, были бы точно такими же, если бы продолжение сериала$(5)$не был аппроксимирован.

Таким образом, вложение Фудзитани-Икэда-Мацумото действительно воспроизводит геометрию Шварцшильда, когда последняя встраивается в шестимерное пространство-время с использованием функций вложения, как описано в вопросе. Я открыт для любых ценных правок и исправлений.