Вывод равенства переменных Мандельштама для sss-канального процесса

Я должен показать, что переменная Мандельштама

$s=(p_1^2 + p_2^2) = 4(P_{cm}^2 + m^2)$

для электрон-позитронного взаимодействия, где$p_1$- падающий 4-импульс электрона и$p_2$- падающий 4-импульс позитрона,$m$- масса электрона / позитрона, а$P_{cm}$есть величина 3-импульса падающей и рассеянной частиц в системе центра масс. Вывод, который дал мой профессор, выглядит следующим образом:

$(p_1^2 + p_2^2) = (E_1 + E_2)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2)^2$

В центре масс рамы,$\vec p_1 + \vec p_2 =0$(поскольку каждый из них является обычным 3-импульсом частиц), поэтому

$=(E_1 + E_2)^2 = (2E)^2$поскольку энергия каждой частицы одинакова в системе центра масс, мы просто выражаем каждую энергию как$E$.

Но тогда шаг, который я не понимаю, следующий:

$E^2 = P_{cm}^2 + m^2$

который подключается к$(2E)^2$чтобы получить окончательный ответ. Я считаю, что уравнение в приведенной выше строке исходит из релятивистского соотношения энергии и импульса, но я не понимаю, как мы можем измениться от энергии$E$в центре масс рамы к$P_{cm}^2$, который вообще не находится в центре масс рамы. Является$E^2$инвариант Лоренца? Если это так, я могу понять, как это работает в выводе.

Изменить: как указано,$P_{cm}$это не импульс центра масс, а импульсы в системе центра масс. Это означает, что предыдущий абзац неактуален. Таким образом, соотношение энергии-импульса имеет место, потому что$P_{cm}$— это импульс каждой частицы в системе координат центра масс, поэтому скачков между кадрами нет, как я думал раньше.