Почему нет синглета изоспина бариона со спином 3/2?

Во-первых, нейтрон$n$и протон$p$у них тоже нет "возбужденных двойников" в декуплете, не так ли?

Теперь два мультиплета совершенно разные. У одного восемь$SU(3)_{\rm flavor}$компоненты, другой имеет десять. Так что явно неправомерно называть одну группу «возбуждениями» другой.

Поскольку содержание кварков (заряд и странность) одинаково, имена$\Sigma^\pm$,$\Sigma^0$,$\Xi^-$, а также$\Xi^0$из октуплета повторно используются со звездочками для обозначения некоторых компонентов декуплета, которые имеют одинаковое кварковое содержание.

Но это совпадение, что они имеют одинаковое кварковое содержание: они по-прежнему трансформируются как совершенно разные представления ароматической группы.

Кварковый состав$uds$имеет два бариона в октуплете, а именно$\Sigma^0$а также$\Lambda$. Не случайно их два. Это просто потому, что на диаграмме 8 компонентов записаны в соответствии с их весами, т.е. собственными значениями$U(1)^2$максимальная коммутирующая подгруппа$SU(3)$. И поскольку вдоль шестиугольника неизбежно 6 компонентов, оставшиеся 2 должны быть в центре. Поскольку 8-мерное представление является сопряженным, они соответствуют не чему иному, как двум образующим$U(1)^2$«Тор Картана» в алгебре Ли.

С другой стороны, декуплет не имеет таких вырождений. 10 компонентов организованы в строки$1+2+3+4$и нигде нет дублирования. Компонент с$uds$содержание кварка просто называется$\Sigma^{*0}$. Пожалуй, это можно было бы назвать$\Lambda^*$также – потому что это действительно ни то, ни другое. Но математически гарантируется, что существует только один компонент декуплета с$uds$кварковое содержание. Это гарантируется теорией групп, декомпозицией представления$SU(3)$под$U(1)^2$подгруппа (веса представлений).

Можно представить, как выглядят представления в терминах тензоров. 8-мерное представление сопряжено с$3^2-1$составные части. это как тензор$T_{a\bar b}$за исключением того, что у нас есть три кварка, а не один кварк и один антикварк. Даже с тремя кварками возможно, мы можем заменить антииндекс$\bar b$антисимметричным$cd$пара. Таким образом, это представление является тензором$T_{acd}$который$cd$-антисимметричный, но чей$acd$-антисимметризация (это след) исчезает.

С другой стороны, декуплет является симметричным тензором$T_{acd}$. Вы можете видеть, что симметричный тензор допускает все комбинации$u,d,s$, и когда вы указываете, сколько$u$, Как много$d$, Как много$s$, компонента определяется симметрией тензора. Три угла$uuu,ddd,sss$разрешены.

С другой стороны, в тензоре смешанной симметрии$uuu,ddd,sss$запрещены из-за антисимметрии в$cd$индексы. С другой стороны, есть два независимых компонента.$T_{uds}$а также$T_{dsu}$. Остальные четыре перестановки определяются исчезающим следом и$cd$антисимметрия.

Симметрия и статистика.

Кварки, являющиеся фермионами, диктуют полностью антисимметричную волновую функцию трех составляющих бариона. Волновая функция цвета антисимметрична, поэтому комбинированная волновая функция спина и вкуса должна быть симметричной.

Комбинация со спином 1/2 (октет SU(3)) имеет смешанную симметрию , как и симметрия аромата барионного октета, с которого вы начинаете, поэтому он может вмещать как странные синглеты изоспина (аромат антисимметричный, Λ ), так и триплеты (симметричный, Σ ).

Напротив, комбинация со спином 3/2 (декуплет SU(3)) является спин-симметричной, поэтому она должна быть симметричной по аромату: теперь в ней есть место для изотриплета, но нет места для странного изосинглета, Λ . Все это становится очевидным, когда вы смотрите на явные волновые функции SU(6) 56 в своем тексте.